Hvis konstanten ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten afgør sammen med , hvor funktionens ekstremum er, mens alene bestemmer krumningen eller den anden afledte, idet:
Det ses, at krumningen bliver større, når bliver større, og et negativt giver en negativ krumning.
: 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
: Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.
Symmetri
Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt givet ved:
Bevis for symmetri
Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:
hvor er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:
Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:
Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets ekstremum, da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.
Ekstremum
Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum , og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:
Da -værdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri, kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde -værdien:
hvilket er det ønskede udtryk.
Udledning ved differentiation
Hvis -værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da hældningen i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:
Dette sættes til nul, så kan findes:
Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.
Omskrivninger
Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation.
Faktorisering
For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som:
Bevis for faktorisering
At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:
Generelt er rødderne:
Dette indsættes:
Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:
Hvilket er det oprindelige udtryk.
Toppunktsnotation
For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som:
Bevis for toppunktsnotation
Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum: