Spor (algebra)

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

For alternative betydninger, se Spor. (Se også artikler, som begynder med Spor)

Ved sporet af en kvadratisk ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ forstås summen af dens diagonale elementer^[1],

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,.}$

Notationen er afledt af det engelske ord «trace», som betyder «spor».

Sporet af en matrix er lig summen af dens egenværdier og er invariant under basisskifte.

Eksempel

${\displaystyle \mathrm {tr} \left({\begin{bmatrix}-2&2&-4\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}\right)=-2+1-1=-2.}$

Egenskaber

• Spor er en lineær operator, dvs.
  ${\displaystyle \mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\;,}$
  ${\displaystyle \mathrm {tr} (cA)=c\;\mathrm {tr} (A)\;.}$
  for vilkårlige kvadratiske matricer ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ og skalarer ${\displaystyle c}$.
• ${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}})\;.}$
• ${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA)\;.}$

Referencer