Simpel harmonisk bevægelse

En simpel harmonisk bevægelse er i fysikken en måde at beskrive bevægelse omkring en ligevægtstilstand eller oscillation. En kraft virker for at bringe det bevægede tilbage i ligevægtstilstanden, og for simple harmoniske bevægelser specifikt gælder det, at kraften er proportional med forskydningen. Noget, der foretager en harmonisk bevægelse, kaldes en harmonisk oscillator.^[1]

Formeludledning

Som det er givet i definitionen vil kraften virke modsat og proportionalt forskydningen af det oscillerende. Kraften er altså lig den negativ placeringsforskydning gange en proportionalitetskonstant:

${\displaystyle F=-kx}$

Præcis den samme formel kendes fra Hookes lov, der bruges til at beskrive kraften i en fjeder som udstrækningen gangen fjederkonstanten. Et lod i en fjeder kan altså lave en simpel harmonisk bevægelse og omvendt kan simple harmoniske oscillatorer beskrives som masse-fjeder-systemer. Kraften i udtrykket kan imidlertid også skrive som masse gange acceleration, og yderligere kan acceleration skrives som position differentieret to gange. Man får:

${\displaystyle F=-kx\Rightarrow ma=-kx\Rightarrow m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}$

Derved fremkommer en lineær, homogen differentialligning. Løsningen er en funktion for placeringen, og den må således afspejle det periodiske i en funktion. En løsning er da også en sinusoidal funktion givet ved:

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t)}$

Dette kan testes ved at indsætte den på x's plads i differentialligningen:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}A\cos(\omega t)=-kA\cos(\omega t)}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle m(A\omega ^{2}(-\cos(\omega t)))=-kA\cos(\omega t)}$

${\displaystyle \Downarrow }$

${\displaystyle -m\omega ^{2}A\cos(\omega t)=-kA\cos(\omega t)}$

Det ses, at ligningen er sand, når

${\displaystyle m\omega ^{2}=k}$

Ved omrokering af denne ligning får man:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}\Rightarrow \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

${\displaystyle m={\frac {k}{\omega ^{2}}}}$

Omega symboliserer vinkelfrekvensen, der hænger sammen med frekvensen af bevægelsen ved

${\displaystyle \omega =2\pi f}$^[2]

Vinkelfrekvensen er altså er givet ved kvadratroden af fjederkonstant over massen, mens massen er givet ved fjederkonstant over vinkelfrekvensen kvadreret. Sidstnævnte sammenhæng anvendes i rummet, da vægtløsheden umuliggør en tyngdefeltsafhængig vægt. Den anvendes tilsvarende med en Quartz Crystal Microbalance til at måle tynde film.^[3]

Fodnoter