Simpel harmonisk bevægelse

Harmonisk bevægelse

En simpel harmonisk bevægelse er i fysikken en måde at beskrive bevægelse omkring en ligevægtstilstand eller oscillation. En kraft virker for at bringe det bevægede tilbage i ligevægtstilstanden, og for simple harmoniske bevægelser specifikt gælder det, at kraften er proportional med forskydningen. Noget, der foretager en harmonisk bevægelse, kaldes en harmonisk oscillator.[1]

Formeludledning

Som det er givet i definitionen vil kraften virke modsat og proportionalt forskydningen af det oscillerende. Kraften er altså lig den negativ placeringsforskydning gange en proportionalitetskonstant:

Præcis den samme formel kendes fra Hookes lov, der bruges til at beskrive kraften i en fjeder som udstrækningen gangen fjederkonstanten. Et lod i en fjeder kan altså lave en simpel harmonisk bevægelse og omvendt kan simple harmoniske oscillatorer beskrives som masse-fjeder-systemer. Kraften i udtrykket kan imidlertid også skrive som masse gange acceleration, og yderligere kan acceleration skrives som position differentieret to gange. Man får:

Derved fremkommer en lineær, homogen differentialligning. Løsningen er en funktion for placeringen, og den må således afspejle det periodiske i en funktion. En løsning er da også en sinusoidal funktion givet ved:

Dette kan testes ved at indsætte den på x's plads i differentialligningen:

Det ses, at ligningen er sand, når

Ved omrokering af denne ligning får man:

Omega symboliserer vinkelfrekvensen, der hænger sammen med frekvensen af bevægelsen ved

[2]

Vinkelfrekvensen er altså er givet ved kvadratroden af fjederkonstant over massen, mens massen er givet ved fjederkonstant over vinkelfrekvensen kvadreret. Sidstnævnte sammenhæng anvendes i rummet, da vægtløsheden umuliggør en tyngdefeltsafhængig vægt. Den anvendes tilsvarende med en Quartz Crystal Microbalance til at måle tynde film.[3]

Fodnoter

  1. ^ Wolfson, Richard. "Oscillations, Waves and Fluids", Essential University Physics (2. internationale udgave), Addison-Wesley 2007, San Francisco, s. 236. ISBN 978-0-321-76193-4.
  2. ^ Wolfson, Richard. "Oscillations, Waves and Fluids", Essential University Physics (2. internationale udgave), Addison-Wesley 2007, San Francisco, s. 206-207. ISBN 978-0-321-76193-4.
  3. ^ Johannsmann, Diethelm (2015) [2014]. The Quartz Crystal Microbalance in Soft Matter Research - Fundamentals and Modeling. Soft and Biological Matter (1 udgave). Heidelberg: Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-07836-6. ISBN 978-3-319-07835-9. ISSN 2213-1736.

Medier brugt på denne side

Simple harmonic motion animation 2.gif
Forfatter/Opretter: Chetvorno, Licens: CC0
Animated diagram showing simple harmonic motion defined as the projection on the axis of a point moving at a constant speed in a circle about the origin. The righthand diagram shows a point (black) rotating in a circle of radius A about the origin. The angle it makes with the x-axis at any time t is ωt, where ω is its angular velocity in radians per second. Its projection on the x-axis (blue) is the cosine function y(t) = Acos(ωt) while its projection on the y-axis (red) is the sine function y(t) = Asin(ωt). The lefthand diagram shows the motion plotted as a function of ωt.