Rydbergs formel

(c) OrangeDog, CC BY-SA 3.0

Hydrogen-spektret på en logaritmisk skala.

Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og brint-lignende ioner. Den udsendte bølgelængde ${\displaystyle \lambda }$ er for brint givet ved:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

hvor ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=10.973.731,\!6\,{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}}$ er Rydbergs konstant, mens ${\displaystyle n}$ og ${\displaystyle m}$ er positive heltal. For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron, men kernen har en ladning på ${\displaystyle Z}$ elementarladninger, er formlen givet ved:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=Z^{2}R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888.^[1]

Serier

Ved at sætte ${\displaystyle n}$ lig med en bestemt værdier kan forskellige tidligere spektralserier udledes:^[2][3]

Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når ${\displaystyle m}$ går mod uendelig.

Udledning

Hovedartikel: Bohrs atommodel.

Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel. I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

hvor ${\displaystyle n}$ igen er et positivt heltal. I formlen er ${\displaystyle e}$ elementarladningen, ${\displaystyle m}$ er elektronens masse, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er vakuumpermittiviteten, og ${\displaystyle \hbar }$ er Plancks reducerede konstant. Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand ${\displaystyle m}$ til en lav tilstand ${\displaystyle n}$, er energiændringen givet ved:

${\displaystyle \Delta E=E_{m}-E_{n}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Energien frigives i form af en foton, hvis energi er proportional med frekvensen ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \Delta E=h\nu }$

Her er ${\displaystyle h}$ Plancks konstant. Frekvensen er lysets fart ${\displaystyle c}$ divideret med ${\displaystyle \lambda }$, så

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

eller

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}={\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$

Udtrykket ${\displaystyle e^{4}}$ kommer fra Coulombs lov, så der skal blot ganges en faktor ${\displaystyle Z^{2}}$ på for at generalisere til andre atomkerner.^[4]

Eksterne henvisninger

• Video om Rydbergs formel

Kildehenvisninger