Regneregler for differentiation

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

• ${\displaystyle y(x)=k}$, hvor ${\displaystyle k}$ er en konstant, har den afledede ${\displaystyle y'(x)=0}$
• (1): ${\displaystyle y(x)=x\cdot k}$, hvor ${\displaystyle k}$ er en konstant, har den afledede ${\displaystyle y'(x)=k}$
• ${\displaystyle y(x)=k\cdot x^{n}}$ har den afledede ${\displaystyle y'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}}$, og heraf
• ${\displaystyle y(x)={\frac {1}{x}}}$ har den afledede ${\displaystyle y'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}$, undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

• ${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))}$ (kædereglen)
• (2): ${\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}$ (sumreglen)
• ${\displaystyle (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)}$ (differensreglen)
• ${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}$ (produktreglen)
• ${\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}}$, undersøges for g(x)=0
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot (-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}})}$, undersøges for g(x)=0 (følger af ${\displaystyle (f\cdot h)'(x)=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)}$ og ${\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}}$)

• Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )

• Sinus-funktionen ${\displaystyle \sin(x)}$ har differentialkvotienten ${\displaystyle \sin '(x)=\cos x}$
• Cosinus-funktionen ${\displaystyle \cos(x)}$ har differentialkvotienten ${\displaystyle \cos '(x)=-\sin x}$
• Tangens, ${\displaystyle \tan(x)}$, har differentialkvotienten ${\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}$
• Den naturlige eksponentialfunktion, ${\displaystyle e^{x}}$, er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$.
• Eksponentialfunktionen ${\displaystyle y(x)=a^{x}}$ hvor ${\displaystyle a}$ er en konstant, har differentialkvotient ${\displaystyle y'(x)=\ln(a)a^{x}}$, hvor ${\displaystyle \ln }$ er den naturlige logaritmefunktion
• Den naturlige logaritme, ${\displaystyle \ln(x)}$, har differentialkvotienten ${\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}$

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner

Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som en sum:

${\displaystyle f(x)=v(x)+u(x)}$

har differentialkvotienten

${\displaystyle f'(x)=v'(x)+u'(x)}$

Dvs. differentialkvotienten af summen ${\displaystyle v(x)+u(x)}$er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.

Bevis

Først finder vi sekantens hældning, eller differenskvotienten:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)+u(x+\Delta x)-(v(x)+u(x))}{\Delta x}}}$

Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}+{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}}$

Hvis ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$(dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+v(x)=v'(x)+u'(x)}$

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

${\displaystyle f(x)=v(x)\cdot u(x)}$

har differentialkvotienten

${\displaystyle f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u'(x)}$

Bevis

Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)}{\Delta x}}}$

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)+v(x+\Delta x)\cdot u(x)-v(x+\Delta x)\cdot u(x)}{\Delta x}}}$

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}}+{\frac {u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]}$

Differentialkvotienten bliver således:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}$

Hvilket i det generelle tilfælde er:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left(v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]\right)}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+\lim _{\Delta x\to 0}(u(x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]}$

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

${\displaystyle f'(x)=v(x)\cdot u'(x)+u(x)\cdot v'(x){\frac {}{}}}$

Umiddelbart ville man ikke tro at ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))=v(x)}$, og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)\cdot v(x)=v'\cdot u+v\cdot u'}$

Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner

Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som en brøk:

${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{u(x)}}}$

har differentialkvotienten

${\displaystyle f'(x)={\frac {v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^{2}}}}$

Eksterne henvisninger

• Sum-/differens- og konstantreglen Fra Matlet.dk.
• Regneregler for differentialkvotienten Fra Web-matematik.