Potensrække

I matematikken er en potensrække (i en variabel) en uendelig række på formen

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(z-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+a_{3}(z-c)^{3}+\cdots ,}$

hvor a_n er den n'te koefficient, c er en konstant, og z tager værdier omkring c (hvorfor man af og til taler om, at rækken har centrum i c). Tallene a_n, c og n er typisk reelle eller komplekse. Rækkerne opstår ofte som Taylorpolynomiet af en givet funktion.

I mange situationer er c lig nul; eksempelvis ved Maclaurinrækkerne. I disse tilfælde bliver rækken til det simplere

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

Eksempler

Ethvert polynomium kan let udtrykkes som en potensrække med centrum i c. For eksempel kan polynomiet ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ skrives som en potensrække med centrum ${\displaystyle c=0}$, idet

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$

eller med centrum ${\displaystyle c=1}$ som

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$

eller med et vilkårligt andet centrum. Man kan ofte betragte potensrækker som "polynomier af uendelig grad," selvom potensrækker ikke er polynomier.

Den geometriske række, hvor alle koefficienterne er lig 1,

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$

som er gyldig for ${\displaystyle x\in \{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}}$ er en af de vigtigste eksempler på en potensrække. Det samme gælder eksponentialfunktionen

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$

Disse potensrækker er også eksempler på Taylorrækker. Der findes imidlertid også potensrækker, der ikke er Taylorrækken for nogen funktioner; eksempelvis

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .}$

Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker – f.eks. betragtes rækken ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ ikke som en potensrække (selv om det er en Laurentrække). På samme måde tillades ikke brøkeksponenter som f.eks. ${\displaystyle x^{1/2}}$ (se Puiseuxrække). Koefficienterne ${\displaystyle a_{n}}$ må ikke afhænge af ${\displaystyle x}$, så

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$ er f.eks. ikke en potensrække.

Konvergensradius

En potensrække vil konvergere for bestemte værdier af variablen x (mindst for x = c), og kan divergere for andre. Der findes altid et tal r med 0 ≤ r ≤ ∞ sådan, at rækken konvergerer, når |x − c| < r og divergerer, når |x − c| > r. Tallet r kaldes rækkens konvergensradius; generelt er den givet ved

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

eller, ækvivalent,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$

(se limes superior og limes inferior). En lettere måde at beregne den, er

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|,}$

hvis denne grænse eksisterer.

Rækken konvergerer absolut for |x – c| < r, og den konvergerer uniformt på enhver lukket og begrænset delmængde af ${\displaystyle \{x\mid |x-c|<r\}.}$

For |x – c| = r er det ikke muligt at lave et generelt udsagn om, hvorvidt rækken konvergerer eller divergerer. Dog siger Abels sætning, at rækkens sum er kontinuert i x, hvis rækken konvergerer i x.