Poisson-Boltzmann-ligningen

Poisson-Boltzmann-ligningen beskriver interagerende ladningsbærere i form af ioner og evt. elektroner. Et hverdagseksempel er køkkensalt opløst i vand.

I plasmaer og elektrolytter beskriver Poisson-Boltzmann-ligningen, hvordan det elektriske felt spreder sig pga. elektrisk skærmning; dvs. når ladninger udligner hinanden. Den lineariserede version kaldes for Debye-Hückel-ligningen.

Ligningen er opkaldt efter Siméon Denis Poisson og Ludwig Boltzmann, men modellen blev oprindeligt formuleret uafhængigt af Louis Georges Gouy og David Leonard Chapman i henholdsvis 1910 og 1913.^[1]

Udledning

Det elektriske felt ${\displaystyle {\vec {E}}}$ fra en ladningsdensitetet ${\displaystyle \rho }$ er generelt givet ved Gauss' lov:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon }}}$

Det elektriske potential ${\displaystyle \varphi }$, dvs. potentiel energi pr. ladning, er relateret til det elektriske felt ved

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi }$

og derfor er det relateret til ladningsdensiteten ved en Poisson-ligning:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}}$

Plasma og elektrolytter består af mobile ladninger i form af ioner og elektroner. Densiteten ${\displaystyle n_{s}}$ af hver af disse giver samlet ladningsdensiteten:

${\displaystyle \rho =e\sum _{s}Z_{s}n_{s}}$

Indsættes udtrykket for ladningsdensiteten i relationen for det elektriske potential, ses det, at

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {e}{\varepsilon }}\sum _{s}Z_{s}n_{s}}$

Interaktionsenergien ${\displaystyle E_{s}}$ mellem en ladningsbærer og det elektriske felt er givet ved:

${\displaystyle E_{s}=eZ_{s}\varphi }$

Densiteten kan dermed findes vha. Boltzmann-fordelingen:

${\displaystyle n_{s}=n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {E_{s}}{k_{B}T}}}=n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {eZ_{s}\varphi }{k_{B}T}}}}$

hvor ${\displaystyle n_{s}^{\circ }}$ er densiteten, hvis potentialet er nul. Det antages her, at hele systemet har opnået termodynamisk ligevægt og dermed har samme temperatur ${\displaystyle T}$ overalt. Dermed bliver ligningen for ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {e}{\varepsilon }}\sum _{s}Z_{s}n_{s}^{\circ }e^{-{\frac {eZ_{s}}{k_{B}T}}\varphi }}$

Hvis der er eksterne ladninger ${\displaystyle \rho _{\text{ext}}}$ kan de lægges til:

Dette er Poisson-Boltzmann-ligningen. Ud fra denne differentialligning kan ${\displaystyle \varphi }$ findes, skønt det ofte er nødvendigt at finde en numerisk løsning.

Alternativt kan den lineariseres, hvilket giver Debye-Hückel-ligningen.^[2]

Kildehenvisninger