Omskrevet cirkel
I geometrien betegner den omskrevne cirkel til en polygon en cirkel, som passerer gennem alle polygonens hjørner.
En polygon som har en omskreven cirkel, kaldes indskrivelig. Alle trekanter, alle rektangler og alle simple regulære polygoner er indskrivelige og har således en omskreven cirkel.
Men ikke alle polygoner er indskrivelige, idet en polygons hjørner ikke nødvendigvis ligger på en cirkel. Alle polygoner har derimod en entydig mindste omliggende cirkel, som er den mindste cirkel, som fuldstændigt omgiver polygonen. Den mindste omliggende cirkel til en indskrivelig polygon er ikke nødvendigvis lig med polygonens omskrevne cirkel. For eksempel har den mindste omliggende cirkel for en stumpvinklet trekant den længste side i trekanten som diameter, og den berører ikke det modstående hjørne.
Trekanter
Alle trekanter er indskrivelige, dvs. alle trekanter har en omskreven cirkel.
Det kan bevises ud fra den generelle ligning for en cirkel med centrum (a, b) og radius r i et retvinklet koordinatsystem:
Da ligningen har 3 parametre (a, b, r), er 3 punkters koordinatpar tilstrækkeligt til en bestemme en given cirkels ligning. En trekant er entydigt bestemt ud fra dens 3 hjørner, og da en cirkel kan bestemmes ud fra 3 punkter, følger at alle trekanter er indskrivelige.
Konstruktion med passer og lineal
Centrum for en trekants omskrevne cirkel kan konstrueres ved at tegne 2 ud af trekantens 3 midtnormaler. Cirklens centrum er punktet, hvor midtnormalerne skærer hinanden, og cirklens radius er afstanden fra centrum til ethvert af trekantens hjørner.
Det skyldes at den omskrevne cirkels centrum er ækvidistant (dvs. har samme afstand) til trekantens hjørner, og at alle punkter på en midtnormal er ækvidistante til 2 af trekantens hjørner.
Den omskrevne cirkels centrum i forhold til en trekant
Placeringen af den omskrevne cirkels centrum afhænger af trekantens type:
- Hvis trekanten er spidsvinklet (alle vinkler er mindre end en ret vinkel), ligger cirklens centrum inde i trekanten.
- Hvis trekanten er stumpvinklet (en vinkel er større end en ret vinkel), ligger cirklens centrum uden for trekanten.
- Hvis trekanten er retvinklet, ligger cirklens centrum på midten af trekantens hypotenuse.
Den omskrevne cirkels centrum er inden i en spidsvinklet trekant
Den omskrevne cirkels centrum er uden for en stumpvinklet trekant
Den omskrevne cirkels centrum er midt på en retvinklet trekants hypotenuse
Indskrivelige firkanter
Hovedartikel: Indskrivelig firkant.Indskrivelige firkanter har særlige egenskaber, bl.a. at modstående vinkler har vinkelsummen 180° eller π radianer.
Se også
Medier brugt på denne side
_Circumscribed.svg)
Diagram to show that the circumcentre of an acute triangle is inside the triangle. One in a series.
_Circumscribed.svg)
Diagram to show that the circumcentre of an obtuse triangle is outside the triangle. One in a series.
Forfatter/Opretter: Completerat, Licens: Public Domain
How to construct the circumcenter of a triangle. Also shows how to construct a circle through given three points. Made with GeoGebra
(c) Braindrain0000 fra en.wikipedia.org, CC-BY-SA-3.0
Four examples of cyclic quadrilaterals
_Circumscribed.svg)
Diagram to show that the circumcentre of an acute triangle is on the hypotenuse of the triangle. One in a series.
Diagram to show the construction of the circumcentre, O, and circumcircle, C (red), of a polygon, P (black), showing perpendicular bisectors of each edge of the polygon.