n'te rod

I matematik er den n'te rod af et tal x de tal r, som opløftet til potensen n giver x, hvor n er et positivt heltal

${\displaystyle r^{n}=x,}$

eller

r = ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$,

hvor n er graden af roden. En rod af anden grad kaldes kvadratroden, en rod af tredjegrad kaldes kubikrod. Rødder af højere grad er beskrevet ved hjælp af ordenstal, som i fjerde rod, tyvende rod, osv.

Eksempel:

• 2 er kvadratroden af fire, siden 2² = 4
• -2 er kvadratroden af fire, da (-2)² = 4

Udtrykket ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ er opfundet af Michel Rolle.^[1]

Et reelt tal eller komplekst tal har n rødder af graden n. Mens rødderne af 0 ikke adskiller sig (alle er lig 0), er de n n'te rødder af ethvert reelt eller komplekst tal forskelligt fra 0 alle forskellige.

Man skelner følgende tilfælde for værdier af n og x:

• Hvis n er lige, og x er reel og positiv, er en af dens n'te rødder rødder positiv, en er negativ, og resten er enten ikke-eksisterende (i det tilfælde, hvor n = 2) eller komplekse. Den positive n'te rod kaldes den principale rod.
• Hvis n er lige, og x er reel og negativ, da er ingen af de n'te rødder er reelle.
• Hvis n er ulige, og x er reel, da er en n'te rod reel og har samme fortegn som x, mens de andre rødder er komplekse.
• Endelig, hvis x er ikke reel, så er ingen af dens n'te rødder er reelle.

Rødder skrives normalt ved hjælp af rodtegnet eller radix ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ eller ${\displaystyle \surd {}}$, med ${\displaystyle {\sqrt {x}}\!\,}$ eller ${\displaystyle \surd x}$ angives den principale kvadratrod, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\!\,}$ angiver kubikroden, ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}$ angiver den principale fjerde rod, og så videre. I udtrykket ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$, n kaldes rodeksponent, ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ er rodtegnet eller radix , og x kaldes radikanden eller grundtallet. For reelle tal er rodtegnet en funktion, som entydigt bestemmer en værdi. Dette opnås ved at bruge den principale værdi når n er lige.

I infinitesimalregning behandles rødder som særlige tilfælde af potens, hvor eksponenten er en brøk: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{\frac {1}{n}}}$

Rødder er særligt vigtige i teorien om uendelige rækker; rodkriteriet kan bruges til at afgøre om en uendelig række med reelle ikke-negative led konvengerer og fastlægger konvergensradius i potensrækker. N'te rødder kan også defineres for komplekse tal, og de komplekse rødder for 1 (enhedsrod) spiller i vigtig rolle i højere matematik. Galois-teori kan bruges til bestemme, som algebraiske tal der kan udtrykkes hjælp rødder, og at bevise Abel-Ruffinis sætning, hvori det hedder at et generel polynomium af grad fem eller højere ikke kan løses ved hjælp af rødder alene; dette resultat er også kendt som "femtegradsligningens uløselighed".

Algoritme til bestemmelse af n'te rod

For at beregne ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ kan følgende algoritme anvendes:

1. Lav et første gæt ${\displaystyle x_{0}}$ (desto nærmere ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ desto hurtigere konvergerer algoritmen).
2. ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$
3. Gentag trin 2, indtil den ønskede nøjagtighed er nået

Udledning

Algoritmen kan udledes af Newton-Raphsons metoden.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}=x\Leftrightarrow x^{n}-A=0}$

Vi søger altså løsningen til

${\displaystyle f(x)=x^{n}-A=0\ }$

Iterationsformelen bliver

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {n\cdot x_{k}^{n}-(x_{k}^{n}-A)}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

Eksempel

Beregning af ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$

Løsningen ligger mellem 2 og 3, første gæt sættes til 2,5

${\displaystyle x_{1}=2,5}$: ${\displaystyle x_{2}=3,00000000}$: ${\displaystyle x_{3}=2,92592596}$; ${\displaystyle x_{4}=2,92401898}$

Efter tre iterationer er nøjagtigheden bedre end 0,000001, da ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}=2,924017738...}$

Referencer