Maxwell-relation

Maxwell-relationerne er sammenhænge mellem de afledte af forskellige termodynamiske variable.

Fx er den afledte af temperatur ${\displaystyle T}$ mht. volumen ${\displaystyle V}$ ved konstant entropi ${\displaystyle S}$ lig med den negative afledte af tryk ${\displaystyle p}$ mht. entropi ved konstant volumen:

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}}$

Vha. de termodynamiske potentialer kan adskillige Maxwell-relationer formuleres.^[1]

Udledning

For et arbitrært termodynamisk potential ${\displaystyle f}$, der er en funktion af de variable ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$, kan en infinitesimal ændring ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ skrives som en ændring langs med ${\displaystyle x}$ plus en ændring langs med ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \mathrm {d} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\mathrm {d} y}$

Hvis de partielle afledte kaldes for ${\displaystyle F_{x}}$ og ${\displaystyle F_{y}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}\\F_{y}&=\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ er et eksakt differential, gælder Clairauts sætning, der siger, at rækkefølgen for differentiering ikke har betydning:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$

Dermed gælder den generelle Maxwell-relation:

${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\right)_{y}}$

Denne fremgangsmåde kan anvendes på et hvilket som helst termodynamisk potential:

Eksempel

Som eksempel kan den indre energi ${\displaystyle U}$ bruges. For et system med tryk-volumen-arbejde er differentialet:

${\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V}\mathrm {d} S+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S}\mathrm {d} V=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V}$

I forhold til det generelle eksempel svarer de første afledte til:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{S}&=T\\F_{V}&=-p\end{aligned}}}$

Ved hjælp af den indre energi findes altså Maxwell-relationen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial F_{S}}{\partial V}}\right)_{S}&=\left({\frac {\partial F_{V}}{\partial S}}\right)_{V}\\\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}&=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}\end{aligned}}}$

Dette er Maxwell-relationen fra indledningen.^[1]

Kildehenvisninger

Spire Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.