Liouvilles sætning

Liouvilles sætning i kompleks analyse siger, at enhver begrænset hel funktion må være konstant. Det vil sige, at enhver holomorf funktion f, for hvilken der findes et reelt tal M, så |f(z)| ≤ M for alle z i C er konstant.

Liouvilles sætning kan anvendes til at give et elegant og kort bevis for algebraens fundamentalsætning.

Sætningen forbedres betragteligt af Picards sætning, der siger, at enhver hel funktion, hvis billede udelader mindst to komplekse tal, må være konstant.

Bevis

Givet en begrænset hel funktion f haves for f Taylorudviklingen

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

om 0, og ifølge Cauchys integralformel gælder

${\displaystyle |a_{k}|=\left|{1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(z) \over (z-0)^{k+1}}\,dz\right|={1 \over 2\pi }\left|\oint _{C_{r}}{f(z) \over z^{k+1}}\,dz\right|}$

hvor C_r er cirklen om 0 med radius r > 0. Ved at flytte absolutværdien ind i integralet, fås

${\displaystyle \left|\oint _{C_{r}}{f(z) \over z^{k+1}}\,dz\right|\leq \oint _{C_{r}}{|f(z)| \over |z|^{k+1}}\,dz.}$

Bruges nu antagelsen, at |f(z)| ≤ M for alle z, og det faktum, at |z| = r på cirklen C_r, fås

${\displaystyle \oint _{C_{r}}{|f(z)| \over |z|^{k+1}}\,dz\leq \oint _{C_{r}}{M \over r^{k+1}}\,dz.}$

Da er,

${\displaystyle |a_{k}|\leq {1 \over 2\pi }{M \over r^{k+1}}{2\pi r}={rM \over r^{k+1}}={M \over r^{k}}.}$

Lad nu r gå mod uendelig, så cirklen C_r bliver større. Hvis k er større end 0, vil M/r^k gå mod 0, og a_k må være nul.

Hvis imidlertid k = 0, er r⁰ = 1 (r ≠ 0 når r går mod uendelig), så a₀ er det eneste led i Taylorrækken, hvilket netop er påstanden.

Se også

• Joseph Liouville

Eksterne henvisninger

• Liouville's theorem på PlanetMath
• Eric W. Weisstein, Liouville’s Boundedness Theorem på MathWorld