Liegruppe

Gruppeteori

Gruppeteori Grundlæggende begreber Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe Gruppehomomorfi (semi-)direkte produkt Endelige grupper og klassifikation af endelige simple grupper Cyklisk gruppe Zn Symmetrisk gruppe, Sn Diedergruppe, Dn Alternerende gruppe An Mathieugrupper M11, M12, M22, M23, M24 Conwaygrupper Co1, Co2, Co3 Jankogrupper J1, J2, J3, J4 Fischergrupper F22, F23, F24 Babymonstergruppen B Monstergruppen M Diskrete grupper og gitre Heltallene, Z Gitter (gruppe) Modulære grupper, PSL(2,Z) og SL(2,Z) Topologiske grupper og Liegrupper Solenoide (matematik) Cirkelgruppen Den generelle lineære gruppe GL(n) Den specielle lineære gruppe SL(n) Den ortogonale gruppe O(n) Den specielle ortogonale gruppe SO(n) Den unitære gruppe U(n) Den specielle unitære gruppe SU(n) Den symplektiske gruppe Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentzgruppen Poincarégruppen Konform gruppe Diffeomorfigruppe Løkkegruppen

Cirklen med centrum 0 og radius 1 i den komplekse plan er en Liegruppe med kompleks multiplikation som gruppeoperation.

I matematikken er en Liegruppe en gruppe, der også er en glat mangfoldighed med den yderligere egenskab, at gruppeoperationerne er kompatible med den glatte struktur; mere præcist at multiplikation og inversion er glatte afbildninger. Liegrupper er opkaldt efter den norske matematiker Sophus Lie, som i det 19. århundrede dannede grundlaget for teorien om kontinuerte transformationsgrupper.

Liegrupper repræsenterer den mest omfattende teori for kontinuert symmetri af matematiske objekter og strukturer, og de er derfor et uundværligt værktøj i mange områder i moderne matematik såvel som i moderne teoretisk fysik. De bidrager med en naturlig ramme for analyse af kontinuert symmetri af differentialligninger på samme måde som permutationsgrupper benyttes til analyse af diskrete symmetrier af algebraiske ligninger i Galoisteori. Stræben efter en udvidelse af Galoisteorien til situationen med kontinuerte symmetrigrupper var en af Lies hovedmotivationer.