Lagrange-punkt

De fem lagrange-punkter i forhold til de to himmellegemer.

Et Lagrange-punkt (også omtalt som L-punkt eller librationspunkt) er positioner i tilknytning til to himmellegemers omløbsbaner omkring hinanden, hvor et tredje legeme (som skal have forsvindende lille masse sammenlignet med de to øvrige legemer) kan forblive stabilt i, uden at centripetalkraften eller de andre legemers tyngdekraft trækker det væk fra denne position. Der findes fem sådanne punkter, og de benævnes L₁ til L₅.

Historisk baggrund

I 1772 arbejdede den italienske matematiker Joseph Louis Lagrange på at finde "pæne", analytiske løsninger på hvordan tre eller flere himmellegemer vil bevæge sig i forhold til hinanden. Knap et århundrede forinden havde Isaac Newton grundlagt det matematiske grundlag for himmelmekanikken ved at beregne hvordan to legemer kan bevæge sig i forhold til hinanden. Men så snart der er mere end to legemer "inde i billedet", bliver regnestykket kaotisk; modsat Newtons tolegemeproblem gives der ikke nogle generelle formler for hvordan legemerne kan bevæge sig.

Lagrange fandt aldrig de søgte, generelle løsninger. Det er ikke lykkedes for nogen indtil nu, og dette mere end antyder at der ikke findes nogen generel, matematisk beskrivelse af løsningerne for tre eller flere legemer. Til gengæld fandt han nogle bestemte, stabile "situationer" — herunder nogle punkter hvor et tredje legeme, meget mindre end de to øvrige legemer, kan forblive stabilt over længere tid, og disse punkter er nu opkaldt efter ham.

De 5 punkter

L₁

Det første Lagrange-punkt ligger et sted på linjen imellem de to legemer, og "følger med" i det lille legemes kredsbevægelse, så det har samme omløbstid. Da vinkelhastigheden i denne bane skulle være større, for at centrifugalkraften kunne modvirke det største legemes tyngdekraft, ville et legeme i punktet L₁ "normalt" falde ind mod midten, men det lille legemes tyngdekraft trækker det netop udad, så det holdes på plads i punktet.

L₁'s placering kan ikke beregnes eksakt, men hvis det lille legemes masse er minimal i forhold til det største legemes masse er, kan afstanden ${\displaystyle r}$ fra det lille legeme til L₁ tilnærmelsesvist beregnes ved:

${\displaystyle r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}}$

hvor ${\displaystyle M}$ og ${\displaystyle m}$ er masserne på hhv. det store og det lille legeme, og ${\displaystyle a}$ er afstanden mellem de to legemer. Med Jorden og Solen i rollerne som de to legemer ligger punktet L₁ i ca. 1.500.000 km's afstand fra Jorden, i retningen direkte mod Solen. Fra dette punkt er der altid fri og uhindret "udsigt" til Solen, og derfor er solobservatoriet "SOHO" (Solar and Heliospheric Observatory) placeret i umiddelbar nærhed af dette punkt.

L₂

Det andet Lagrange-punkt ligger som L₁ på forbindelseslinjen mellem de to legemer, men på den modsatte side af det mindste legeme. L₂ vil have en større afstand til det lille legeme end L₁, men er der stor forskel på de to legemers masser, ligger L₁ og L₂ næsten lige langt fra det lille legeme, blot på hver sin side, så der gælder samme tilnærmelsesvise formel for L₂'s afstand til det lille legeme som for L₁. I banen, hvor L₂ ligger, burde vinkelhastigheden være mindre for at modvirke tyngdekraften fra det største legeme, så normalt ville et legeme i denne bane kastes udad af centrifugalkraften, men i L₂ trækker det lille legemes tyngdekraft det netop indad, så det holdes på plads i punktet.

Man har i Jordens/Solens L₂-punkt allerede placeret en hel flotille af rumobservatorier herunder: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP), Herschel-rumteleskopet (i 2009), Planck-rumteleskopet (i 2009) og James Webb Space Telescope (JWST) (i 2022). Det skyldes at dette punkt altid har uhindret "udsigt" til universet, uden forstyrrende sollys og jordskygge. Samtidig er kommunikationsforholdene ideelle, da Jorden altid er i samme retning og afstand (i modsætning til en uafhængig bane om Solen). I 2014 blev astrometrisatellitten Gaia placeret i L₂.

L₃

Det tredje Lagrange-punkt ligger som L₁ og L₂ på linje med de to legemer, men på den modsatte side af det største legeme, i en afstand lidt større end afstanden mellem de to legemer.

På baggrund af Lagranges arbejde forestillede man sig en overgang en hypotetisk planet ved dette punkt^[1]; en sådan planet ville jo hele tiden "gemme sig" for jordiske observatører bag ved Solen. Denne idé er siden hen blevet skrinlagt, fordi Jordens ikke helt cirkelformede omløbsbane fra tid til anden ville bringe en sådan planet frem af dens "skjul".

Bruges Jorden og Solen som eksempel, så kan et legeme "holde" sin 1 år lange omløbstid i en lidt større afstand fra Solen end Jorden, fordi det påvirkes ikke kun af Solens, men også af Jordens tyngdekraft, om end Jordens andel af det samlede "træk" her vil være temmelig beskeden.

To saturnmåner, Janus og Epimetheus, deler kredsløbet om Saturn og har tidligere været 180° fra hinanden (og er det hvert 4. år). Jorden og anti-Jorden ville ligeledes dele kredsløbet eller eventuelt kollidere.

L₄ og L₅

De to Lagrange-punkter L₄ og L₅ befinder sig til stadighed 60 grader "foran" (L₄) og "bag ved" (L₅) det mindste legeme i dennes omløbsbane.

I tilfældet med Solen og Jupiter som de to legemer findes der i L₄ og L₅ i forhold til Jupiter en række småplaneter, kaldet de trojanske asteroider. Blandt Saturns måner deler Tethys omløbsbane med to betragteligt mindre måner; Telesto og Calypso i punkterne L₄ og L₅ i Tethys' kredsløb om Saturn. Saturnmånen Dione har Helene og Polydeuces i sine L₄ og L₅.

I 2011 blev det afgjort, at en asteroide fundet i 2010 befinder sig i et af Jordens Lagrange-punkter (L₄). Det er den første asteroide, man har observeret i et af Jordens Lagrange-punkter^[2]. Asteroiden, der indtil videre hedder 2010 TK₇, er omtrent 300 meter lang^[3].

I de to L₄- og L₅-punkter i Månens bane, er der observeret en del støv. I 1977 skrev Gerald O'Neill The High Frontier ("Rumkolonier" på dansk), hvori han forestillede sig, at man samlede nogle kæmpemæssige rum-øer kredsende om L₅.

Stabilitet

Kendetegnende for alle Lagrange-punkter er, at de eksisterer helt uanset det indbyrdes forhold mellem de to store legemers masser. Desuden vil legemer i L₄ og L₅ være stabile; skulle de af den ene eller den anden grund blive flyttet en anelse væk fra den præcise lokalitet for Lagrange-punkterne, vil inertien og de store legemers tyngdekraft søge at bringe dem tilbage mod punktet. Dog vil legemet i så fald "skyde forbi" Lagrange-punktet – af den grund kan smålegemer i umiddelbar nærhed af et Lagrange-punkt kredse omkring punktet. Flere smålegemer med ubetydelig masse kan således kredse omkring det samme punkt, jævnfør de talrige trojanske asteroider.

Bønneformet bane

Kurverne i tyngdekraftfeltet omkring L₃, L₄ og L₅ er potentielle baner for asteroider med uret set fra punktet. Kurverne mellem L₁ og L₂ er potentielle baner for måner mod uret.

En trojansk asteroide vil altid kredse omkring Lagrange-punktet med uret set i forhold til planeten^[4] i et bønneformet kredsløb (svarende til kurverne i figuren, der illustrerer tyngdekraftfeltet). Hvis vi ser på L₅, er forklaringen følgende: En asteroide, der er kommet inden for planetens bane, vil efterhånden indhente planeten, fordi den med samme hastighed som i planetbanen vil have et hurtigere omløb om solen. Når den nærmer sig planeten, vil planetens tyngdekraft trække den udad, men i stedet for at ramme planeten, vil den fiktive effekt corioliskraften få den til at dreje mod højre i forhold til planeten, og den vil blive skudt ud i en bane længere ude. Herude vil den med samme hastighed som før tabe omløb om solen, men samtidig langsomt trækkes indad mod solen pga. planetens tyngdekraft. Igen vil corioliskraften få den til at søge mod højre, indtil den kommer ind i den samme bane, den startede fra. Omkring L₄ kan der bruges de samme argumenter, idet corioliskraften altid vil få asteroiden til at søge mod højre.

Hesteskoformet bane

En asteroide, der befinder sig så langt væk fra L₄ og L₅, at bønnernes spidser når sammen ved L₃, vil indgå i et hesteskoformet kredsløb (stadig med uret). Tænker man sig f.eks. en asteroide placeret lidt uden for L₃, vil den tabe omløb i forhold til planeten, så den bevæger sig langsomt over mod L₄-punktet og efterhånden passerer det udenom. Når den kommer tæt nok på planeten, vil den (som en trojansk asteroide) sendes ind i et kredsløb inden for planetens bane og herved vinde omløb om solen. Den vil efterhånden passere langsomt bag solen inden for L₃-punktet, fortsætte over mod L₅, som den passerer indenom og derefter sendes forbi planeten i en ydre bane, hvor den taber omløb og langsomt kommer over mod L₃ igen. En sådan asteroide, 2010 SO16, er observeret i jordens bane omkring solen^[5].

En asteroide i en hesteskoformet bane har altså en trojansk-lignende opførsel skiftevis omkring L₄ og L₅, men da den jo i en stor del af sit omløb befinder sig på "bagsiden" af solen tæt ved L₃, kan dens bane nemt blive påvirket mere af andre planeter end den planet, den deler bane med. Da den samtidig passerer tættere forbi planeten end de trojanske asteroider, skal den ikke påvirkes meget af andre planeter eller asteroider, før den kommer ud af sin bane og måske til sidst vil kollidere med planeten. I ekstreme tilfælde kan man forestille sig, at den rammer til venstre for planeten ved enten L₁ eller L₂. Her kan asteroiden blive slynget i et enkelt kredsløb omkring planeten med uret (modsat en måne, der kredser mod uret) og derefter forlade planeten igen i samme punkt. Dette er selvsagt en meget ustabil situation, der nemt kan medføre kollision. Man taler om, at planeten efterhånden (pga. kollisioner) vil støvsuge sit kredsløb for asteroider. Kun hvis asteroiden befinder sig tæt på L₄ eller L₅, vil den i længden undgå at blive samlet op af planeten.

Månekredsløb eller selvstændigt kredsløb

Lagrange-punkterne L₁ og L₂ er kun stabile i retningen vinkelret på linjen gennem sol og planet. Ved forstyrrelser i denne retning vil tyngdekrafterne fra solen og planeten tilsammen føre et smålegeme tilbage til Lagrange-punktet. I retningen langs denne linje er de derimod ustabile. Hvis et legeme i ét af disse to punkter forstyrres bare en lille smule i sin bane, så det kommer tættere på planeten, ind i den såkaldte Hill-sfære, vil det begynde at kredse mod uret omkring planeten som en måne/drabant/satellit. Igen er det corioliskraften, der får legemet til at søge mod højre i stedet for direkte mod planeten. Hvis et legeme omvendt forstyrres til en bane længere væk fra planeten, vil det gå over i sit eget selvstændige kredsløb omkring solen, enten et indre kredsløb fra L₁ eller et ydre kredsløb fra L₂. Der skal dog ikke meget forstyrrelse til, før et selvstændigt kredsløb tæt på L₁ eller L₂ kan blive til en hesteskoformet bane. Under alle omstændigheder danner de to punkter en "grænse" for, hvad der skal forstås som planetens bane. Alle andre selvstændige planeter eller asteroider omkring solen vil befinde sig enten inden for L₁ eller uden for L₂.

Med Jordens bane som eksempel, hvor baneradius er ca. 150.000.000 km, og afstanden til L₁ og L₂ jo er omkring 1.500.000 km (radius på jordens Hill-sfære), kan nævnes, at afstanden til Månen er 384.400 km. Afstanden til banen for den nærmeste indre planet, Venus, er ca. 42.000.000 km (Venus' Hill-sfære har selv en radius på ca. 1.000.000 km) og til banen for den nærmeste ydre planet, Mars, ca. 77.000.000 km.

Opsummering

I en roterende skive mod uret, som planetbanen er, vil Corioliskraften altid bøje et legeme mod højre, når det bevæger sig væk fra et Lagrange-punkt:

1. Fra L₁ eller L₂ mod planeten vil det gå i et månekredsløb mod uret rundt om planeten.
2. Fra L₁ mod solen vil det gå i et selvstændigt kredsløb om solen mod uret set fra planeten (som en indre planet).
3. Fra L₂ væk fra planeten vil det gå i et selvstændigt kredsløb om solen med uret set fra planeten (som en ydre planet).
4. Fra L₃ vil en tilpas lille bevægelse føre det ind i en hesteskoformet bane med uret set fra L₃.
5. Fra L₄ og L₅ vil en tilpas lille bevægelse føre det ind i en bønneformet bane rundt om punktet med uret; ved en lidt større bevægelse føres det ind i en hesteskoformet bane.
6. Fra L₃, L₄ og L₅ vil en tilstrækkelig stor bevægelse føre det over i et selvstændigt kredsløb (som en indre eller ydre planet).

Baner uden for planetens plan

Ovenstående beskrivelser af asteroiders baner gælder kun for smålegemer, der har en bane i samme plan som planeten. Der findes talrige asteroider, der har en baneplan med en markant hældning i forhold til planeterne i solsystemet, og i deres tilfælde er banen mere kompleks. Asteroiden 3753 Cruithne er et eksempel på dette.^[6] Den har tilsyneladende for tiden en bønneformet bane omkring jordens L₄, men med en banehældning på 19,8° i forhold til jorden. På lidt mindre end et jordår gennemløber den en ellipseformet bane om solen, der fører den tæt på Merkurs bane og uden for Mars's bane. Simulationer viser, at denne bønneformede bane efterhånden vil forskubbe sig væk fra Jorden og bevæge sig i et hesteskoformet forløb rundt om solen.

noter

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Lagrange-punkt