Lagrange-multiplikator

Illustration af et optimeringsproblem med to variable ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ og med en sidebetingelse. Den røde kurve er betingelsen ${\displaystyle g}$. De blå kurver er derimod konturer for funktionen ${\displaystyle f}$. Det ses, at punktet, hvor rød og blå tangerer, er det optimale punkt.

En Lagrange-multiplikator bruges til at finde ekstrema - dvs. maksimum eller minimum - for en funktion givet en til flere sidebetingelser.^[1]

Metoden

${\displaystyle f}$ kan være en funktion af ${\displaystyle N}$ variable ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$... og ${\displaystyle x_{N}}$. Sidebetingelsen kan formuleres som en funktion ${\displaystyle g}$, der skal være lig med nul:

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0}$

Funktionen ${\displaystyle f}$ er maksimeret eller minimeret uden sidebetingelse, når gradient er nul:

${\displaystyle \nabla f(x_{1},x_{2},...,x_{N})=0}$

hvor ${\displaystyle \nabla }$ er nabla-operatoren. Dvs. at alle hældninger mht. alle variable skal være nul.

For at indføre sigebetingelsen benyttes det, at de to funktioner skal røre hinanden tangentielt som illustreret i figuren. Da en gradient er vinkelret på en konturlinje. Vil det sige, at de to gradienter skal være parallelle:

${\displaystyle \nabla f\parallel \nabla g}$

hvilket også kan skrives som en proportionalitet:

${\displaystyle \nabla f\propto \nabla g}$

Dvs. at en ny størrelse kan defineres, hvis gradient skal være nul:

Her er ${\displaystyle \lambda }$ en proportionalitetskonstant kaldet en Lagrange-multiplikator. Denne ligning giver et ligningssystem, som kan løses.^[1]

Kildehenvisninger