Korrelation

Korrelation (eller "ko-relation", "sam-relation") er i statistik et mål for sammenhængsgraden mellem et sæt af to variable/målinger.

Baggrund

Det teoretiske grundlag for korrelationsberegningen skyldes oprindelig den franske matematiker Auguste Bravais, der tilbage i 1840'erne udgav en række artikler, omhandlende anvendt matematik og statistik.^[1] Den praktiske anvendelse af korrelationsberegningen blev dog først påbegyndt omkring 1889 af Francis Galton^[2] (en fætter til Charles Darwin), som fik brug for korrelationsberegninger til at kunne sammenligne størrelsen af forskellige legemsdele på dyr og mennesker i forbindelse med studiet af evolutionsteoriens følgevirkninger. Galton baserede sine korrelationsberegninger på sin egen matematiske definition af en universel statistisk måleenhed, som han kaldte en standardafvigelse. Den engelske matematiker Karl Pearson videreførte Bravais' og Galton's arbejde og bidrog endeligt i 1896 til formlens nuværende udseende.^[3] Og det almindelige mål for korrelationen - den såkaldte "korrelationskoefficient" - blev herefter betegnet som Pearsons produkt-moment korrelation.

Formål og betydning

En høj korrelation betyder, at det ene sæt af variable kan forudsiges fra det andet og omvendt, eller at begge variable i en vis udstrækning er et resultat af samme fælles årsag, eller at de rent semantisk^[4] evt. er kommet til at dele et fælles betydningsindhold. (Korrelation betyder således ikke nødvendigvis, at der er en direkte årsagssammenhæng mellem to variabler).

For eksempel er vægt og højde to variable hos mennesket, der i en vis udstrækning er afhængige af hinanden – højere personer er ofte tungere end lavere personer. Men afhængigheden er ikke perfekt. Personer med samme højde kan som bekendt godt have forskellig vægt. Ikke desto mindre er det i dette tilfælde tydeligt for enhver, at der i det mindste gennemsnitligt kan iagttages en vis relation mellem højde og vægt blandt mennesker. Størrelsen af denne relation beregnes ved hjælp af nedenstående matematiske formel og ender med et slutresultat, kaldet en korrelationskoefficient (eller "r", såfremt der er tale om en stikprøve),^[5] som varierer fra -1,00 til +1,00. Og jo nærmere r er til yderpunkterne +1,00 eller -1,00 desto større eller tættere er sammenhængen mellem de to variable.

Korrelationskoefficienten

Korrelation måler styrken af sammenhængen mellem målte variabler, ved at evaluere deres adfærd. Med andre ord, det viser styrken af deres tendens til at ændres med hinanden. Korrelationskoefficienten, der er afbildet som r (i ligningen herunder), ligger i området fra -1 til 1, hvor en negativ værdi betyder at en variabel mindskes som den anden øges og en positiv værdi betyder at begge variabler bevæger sig i samme retning. Når r = 1, er korrelationen positiv og perfekt, med alle datapunkterne der ligger på en linje der har en positiv hældning, hvilket betyder at x og y stiger sammen. Når r = -1, er korrelationen negativ og perfekt, med alle datapunkterne der ligger på en linje, der har en negativ hældning, hvilket betyder at y falder når x øges. Som r bevæger sig tættere på 0, enten fra -1 eller +1, passer dataene mindre og mindre godt til en lineær model; som resultat, bliver forudsigelserne af værdien af en variabel ud fra en anden variabel, mindre og mindre pålidelige - Når det gælder korrelationen mellem højde og vægt hos mennesket, ses den ofte beregnet til r = +0,72 under forudsætning af, at man til brug for beregningen har fået målt højden og vægten hos et stort antal mennesker. Korrelationen kan (i dette tilfælde) således vise, hvor meget vægten afhænger af højden. – Desværre er korrelationskalaen fra -1,00 og til +1,00 ikke en lineær skala på samme måde som på et målebånd eller en lineal, men følger i stedet en kurvelineær cosinus-funktion. Der er med andre ord ikke samme afstand mellem fx to korrelationskoefficienter på henholdsvis r = +0,83 og +0,85 sammenlignet med afstanden mellem to andre korrelationskoefficienter, lydende på henholdsvis r = +0,33 og +0,35. Differencen er ganske vist begge steder 0,02 numerisk set. Men i førstnævnte tilfælde er værdien af dette interval (på dette sted af korrelationsskalaen) noget større end i sidstnævnte tilfælde, nemlig hele 71%.^[6]

En korrelationskoefficient som den anførte på +0,72 giver dog endnu mere mening, dersom tallet også opløftes i 2. potens. I så fald bliver resultatet 0,52. Denne talværdi kaldes koefficientens varians, hvilket betyder/afslører, at enten styres relationen mellem højde og vægt med højden som årsag til vægten for 52% vedkommende - eller også styres relationen mellem de to variable af den samme fælles årsag for ligeledes 52% vedkommende. For de resterende 48% vedkommende skyldes forholdet mellem højden og vægten således helt andre omstændigheder.^[7] Til sammenligning kan nævnes, at utallige undersøgelser har vist, at korrelationen vedrørende intelligenskvotienten^[8] hos enæggede tvillinger, adskilt fra fødslen og bortadopteret til hver sit sociokulturelle miljø at vokse op i, i gennemsnit findes at ligge så højt som r = +0,84. Opløftes dette tal i 2. potens, ses variansen at udgøre, at ca. 70% af intelligens-niveauet hos det enkelte menneske må anses for arveligt bestemt fra dets forældre, mens de resterende kun ca. 30% kan tilskrives miljøbetingede faktorer, herunder specielle uddannelsesvilkår, o.lign.^[9]

Metode til beregning af korrelation

Formlen for den mest benyttede korrelationsberegning (Pearson’s produkt-moment korrelation) er baseret på brugen af almindelige metriske talskalaer, dvs. ratioskalaer og intervalskalaer. Både vægt og højde udmåles således altid på en ratioskala. Skulle man derimod ønske at korrelere en feberkurve med fx en kurve for blodsænkningstallet,^[10] vil det altid ske på en intervalskala. Feberkurven, der måles i Celsius grader, har nemlig lige så lidt som skalaen for blodsænkningstallet et såkaldt absolut nulpunkt,^[11] hvilket betyder, at beregninger via multiplikation og division reelt ikke giver nogen mening – kun addition og subtraktion vil matematisk set være mulig på intervalskalaer. Man kan dog i begge tilfælde være sikker på, at en vægt på 100 kg ligger nøjagtig midt imellem 90 kg og 110 kg. Ligesom 40^o i feber ligger nøjagtig midt imellem 39^o og 41^o i feber.

Men ønsker man at måle korrelationen mellem fx en mulig samtidig forekomst af både angst og depression via et spørgeskema på et stort antal mennesker, og der her gives tre svarmuligheder: (1)Ja altid – (2)Sommetider – (3)Slet ikke, så kan man ikke regne med, at svaret (2)Sommetider ligger midt imellem yderpunkterne og i nøjagtig samme afstand fra (1)Ja altid og (3)Slet ikke.^[12] I dette tilfælde er der her anderledes tale om brugen af en såkaldt ordinalskala, også kaldet en rangordensskala. Formlen for korrelationsberegninger på en ordinalskala (Spearman’s rang korrelation) er som følge heraf også anderledes end for Pearson’s korrelation. Men alligevel ses ikke sjældent Pearson’s korrelation af nemheds grunde^[13] brugt også på ordinalskalaer, da det herved fremkomne fejlbehæftede resultat i praksis som oftest ikke ses at afvige ret meget i forhold til brugen af den korrekte beregningsmåde.

Faktoranalyse

I forbindelse med gennemførelsen af store forskningsprojekter el.lign. med rigtig mange forskellige variable på én gang, foretager man ofte korrelationsberegninger parvis mellem alle de udmålte variable indbyrdes med henblik på at kunne reducere mængden af, hvad der under udregningerne måtte vise sig at være variable af mindre betydning. Til en sådan udrensning, der ofte vil kunne fremme hele overskueligheden i datamaterialet i betragtelig grad, anvendes en avanceret statistisk beregningsmetode, kaldet faktoranalyse. En faktoranalytisk behandling af et større datamateriale giver endvidere adgang til adskillige interessante oplysninger om datamaterialets indre struktur tillige med indikationer af mulige bagvedliggende (skjulte) funktionelle relationer mellem de fremkomne delstrukturer (faktorerne) og variablerne i datamaterialet. Til gennemførelse af en faktoranalytisk beregning kræves de krydstabulerede korrelationsudregninger stillet op i en to-dimensional korrelationsmatrice, som herefter vil kunne danne udgangspunktet for de videre beregninger til brug for tilvejebringelsen af data-materialets underliggende faktor-struktur (sker teoretisk via brugen af matrix-algebra - i praksis via en computer-kørsel efter forudgående indkodning af samtlige korrelationskoefficienter).

Udregning af Pearsons produkt-moment korrelationskoefficient

Korrelationen mellem to tilfældige variable X og Y benævnes ${\mbox{r}}(X,Y)$ og kan udregnes på flere måder, fx:

[1] : ${\mbox{r}}(X,Y)={\frac {{\mbox{cov}}(X,Y)}{\sqrt {{\mbox{var}}(X)\cdot {\mbox{var}}(Y)}}}={\frac {{\mbox{cov}}(X,Y)}{{\mbox{std}}(X)\cdot {\mbox{std}}(Y)}}$

hvor ${\mbox{cov}}$ angiver kovariansen, ${\mbox{var}}$ angiver variansen og ${\mbox{std}}$ angiver standardafvigelsen. Det bemærkes, at ${\sqrt {{\mbox{var}}(X)}}={\mbox{std}}(X)$ .

Hvis den empiriske korrelation ønskes udregnet direkte fra et datasæt, kan denne formel benyttes:

[2] : ${\mbox{r}}(X,Y)={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{(n-1)s_{x}s_{y}}}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-(\sum y_{i})^{2}}}}}$

Udregning af Spearmans rang korrelationskoefficient

{\mbox{r}}(X,Y)=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}

eller mere korrekt :

\rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}

hvor $d_{i}=x_{i}-y_{i}$ , er forskellen mellem rangordens-værdierne.

Forklaringer

*Forskellige datasæt med korrelationen* r = 0,81

Spearmans rang korrelationskoefficient ses ofte beskrevet som værende "non-parametrisk". Dvs. at den nøjagtige spredningsfordeling for de indsamlede data her kan håndteres uden yderligere beregning af parametre vedrørende den fælles sandsynlighedsfordeling af X og Y.

Ofte bruger statistikere og andre bogstavet r for en korrelation udregnet med et givent datasæt som stikprøve, og det græske bogstav rho $\rho$ til via en korrektion i formlen at angive en hel populations korrelation.

Til brug for en mere oversigtsgivende fremstilling (grafisk) af de variabelværdier, der indgår i en simpel korrelationsberegning, bruger man hyppigt et såkaldt scatterdiagram (se fig.). Illustrationen gengiver her fire eksempler på, hvordan 11 fiktive observationer teoretisk ville kunne placere sig i et scatterdiagram - og til trods for deres særprægede mønster, alligevel give samme resultat: r = 0,81. Såfremt alle scatterplots lå på den skrå rette linje, ville korrelationen være perfekt med r = +1,00. (Det begrænsede antal af observationer er i en statistisk sammenhæng dog alt for lille til at kunne drage nogen som helst pålidelige konklusioner af).

Noter

^ Auguste Bravais, "Sur les probabilités de erreurs de situation d'un point", Mem. Acad. Royal. Sci. Inst. France, 9:255-332 (1846),
^ Francis Galton, "Co-relations and their measurement, chiefly from antropometric data", Proceedings of the Royal Society of London, 45:135-145 (1888)
^ Karl Pearson, "Mathematical contributions to the theory of evolution III: Regression, heredity, panmixia", Philo. trans. Roy. Soc. London Ser. A, 187:253-318 (1896).
^ Ønsker man fx korrelationen udregnet mellem to menneskelige egenskaber, som loyalitet og trofasthed, bliver resultatet uundgåeligt en meget høj korrelation, der vil have forholdsvis ringe forklaringsværdi, da begge disse egenskaber rent sprogligt (semantisk) i vid udstrækning dækker nøjagtig det samme.
^ Det matematiske symbol r for korrelationskoefficienten har oprindelig betegnet "regressionskoefficienten" (en forløber for korrelationskoefficienten), men er siden i stedet blevet knyttet til Pearsons korrelation. Regressionskoefficienten betegnes i dag anderledes med symbolet b eller med $\beta$ .
^ Såfremt korrelationsskalaen ønskes vægtet således, at den i stedet kan optræde med en spredning som en normalfordelt skala, anvendes en særlig variabeltransformation, kaldet Fishers z' transformation.
^ Spørgsmålet er dog her, om det nu også i virkeligheden giver god mening overhovedet at korrelere de indsamlede rå data for hhv. højde og vægt med hinanden? Vægten er jo indlysende en variabel, som hidrører fra målingen af et tredimensionalt objekt - mens højden er en variabel, der alene tager sigte på kun den ene af måleobjektets tre dimensioner. Såfremt man ønsker et mere præcist udtryk for den reelle sammenhængsgrad imellem højde og vægt hos mennesket, vil det givetvis være mere retvisende først at transformere den ene af variablerne, så begge variable dermed kan bringes på samme dimensionelle niveau, inden de korreleres med hinanden. Det kunne fx gøres ved først at tage kubikroden til alle vægt-tallene, inden selve udførelsen af korrelationsberegningen. En sådan forudgående variabeltransformation vil sandsynligvis kunne resultere i en noget højere korrelationskoefficient - og dermed afsløre en væsentlig tættere sammenhæng mellem højde og vægt, end først udmålt. (Det er således altid vigtigt, at man sørger for at overveje hvilke talskalaer, som det er mest relevant at benytte i forbindelse med en påtænkt korrelationsberegning).
^ Intelligensbegrebet dækker over en række mentale evner, som fx indlæringshastighed, problemløsning, hukommelsesspændvidde, opfattelsesevne, læsefærdighed, skriftlighed, talbehandling, abstraktionsevne, o.lign.
^ Det skal hertil bemærkes, at intelligensniveauet igennem de sidste hundrede år globalt set hele tiden langsomt ses at flytte sig i opadgående retning med ca. 3 IQ-points pr. 10-år (Flynn-effekten), hvorefter effekten indtil videre er stoppet op og fladet ud umiddelbart efter årtusindskiftet. Menneskeheden synes med andre ord at kunne blive klogere i takt med den globale udvikling. Opdagelsen af fænomenet har internationalt givet anledning til store uddannelsespolitiske dønninger, idet venstreorienterede kredse verden over fandt grundtanken i deres uddannelsespolitik styrket derved, at forskellene mellem kloge og mindre kloge børn og unge således mere synes at skyldes social arv end medfødt intelligens. Konklusionen må imidlertid siges at være stærkt overdrevet og næppe korrekt. I så fald ville man lige så vel kunne hævde, at menneskets gennemsnitshøjde er mere et socialt produkt, end just et genetisk produkt, selv om gennemsnitshøjden i Vesten i løbet af de sidste et hundrede års dramatisk ændrede ernærings- og sundhedstilstand kun ses øget med blot 9 cm. Arvens betydning for både intelligensniveauet (målt i IQ) og højden (målt i cm) er ifølge hyppigt gentagne korrelationsberegninger væsentlig større end miljøets betydning – på de her nævnte to områder af en størrelsesorden på henholdsvis 70% og 80%.
^ Blodsænkning er en måling af, hvor meget de røde blodceller synker ned gennem en blodprøve i et reagensglas i løbet af en time. Analysen bruges ofte af læger til at påvise og følge kroniske betændelsestilstande i kroppen, men den siger dog ikke noget konkret om nøjagtig hvilken sygdom, der er tale om.
^ Talskalaer med et absolut nulpunkt er kendetegnet ved ikke at indeholde negative talværdier. Da Celsius-skalaen indeholder negative tal (fx 10 graders frost = - 10^o), har den kun et relativt nulpunkt, nemlig der, hvor vand fryser til is. Derimod har en anden temperaturskala, Kelvin-skalaen, et sådant absolut nulpunkt (0^o K), og som har vist sig at ligge på - 273,15^o Celsius, hvor intet vil kunne blive koldere end det.
^ Såfremt der ikke overalt kan antages at være samme afstand mellem alle skalaens måletrin, siges skalaen at mangle ækvidistans, hvilket netop er karakteristisk for alle ordinalskalaer.
^ Manglende anvendelse af Spearmans korrelation skyldes dog også hyppigt, at denne formel ikke altid forefindes lagt ind i statistikprogrammerne på computeren.

[1] Auguste Bravais, "Sur les probabilités de erreurs de situation d'un point", Mem. Acad. Royal. Sci. Inst. France, 9:255-332 (1846),

[2] Francis Galton, "Co-relations and their measurement, chiefly from antropometric data", Proceedings of the Royal Society of London, 45:135-145 (1888)

[3] Karl Pearson, "Mathematical contributions to the theory of evolution III: Regression, heredity, panmixia", Philo. trans. Roy. Soc. London Ser. A, 187:253-318 (1896).

[4] Ønsker man fx korrelationen udregnet mellem to menneskelige egenskaber, som loyalitet og trofasthed, bliver resultatet uundgåeligt en meget høj korrelation, der vil have forholdsvis ringe forklaringsværdi, da begge disse egenskaber rent sprogligt (semantisk) i vid udstrækning dækker nøjagtig det samme.

[5] Det matematiske symbol r for korrelationskoefficienten har oprindelig betegnet "regressionskoefficienten" (en forløber for korrelationskoefficienten), men er siden i stedet blevet knyttet til Pearsons korrelation. Regressionskoefficienten betegnes i dag anderledes med symbolet b eller med $\beta$ .

[6] Såfremt korrelationsskalaen ønskes vægtet således, at den i stedet kan optræde med en spredning som en normalfordelt skala, anvendes en særlig variabeltransformation, kaldet Fishers z' transformation.

[7] Spørgsmålet er dog her, om det nu også i virkeligheden giver god mening overhovedet at korrelere de indsamlede rå data for hhv. højde og vægt med hinanden? Vægten er jo indlysende en variabel, som hidrører fra målingen af et tredimensionalt objekt - mens højden er en variabel, der alene tager sigte på kun den ene af måleobjektets tre dimensioner. Såfremt man ønsker et mere præcist udtryk for den reelle sammenhængsgrad imellem højde og vægt hos mennesket, vil det givetvis være mere retvisende først at transformere den ene af variablerne, så begge variable dermed kan bringes på samme dimensionelle niveau, inden de korreleres med hinanden. Det kunne fx gøres ved først at tage kubikroden til alle vægt-tallene, inden selve udførelsen af korrelationsberegningen. En sådan forudgående variabeltransformation vil sandsynligvis kunne resultere i en noget højere korrelationskoefficient - og dermed afsløre en væsentlig tættere sammenhæng mellem højde og vægt, end først udmålt. (Det er således altid vigtigt, at man sørger for at overveje hvilke talskalaer, som det er mest relevant at benytte i forbindelse med en påtænkt korrelationsberegning).

[8] Intelligensbegrebet dækker over en række mentale evner, som fx indlæringshastighed, problemløsning, hukommelsesspændvidde, opfattelsesevne, læsefærdighed, skriftlighed, talbehandling, abstraktionsevne, o.lign.

[9] Det skal hertil bemærkes, at intelligensniveauet igennem de sidste hundrede år globalt set hele tiden langsomt ses at flytte sig i opadgående retning med ca. 3 IQ-points pr. 10-år (Flynn-effekten), hvorefter effekten indtil videre er stoppet op og fladet ud umiddelbart efter årtusindskiftet. Menneskeheden synes med andre ord at kunne blive klogere i takt med den globale udvikling. Opdagelsen af fænomenet har internationalt givet anledning til store uddannelsespolitiske dønninger, idet venstreorienterede kredse verden over fandt grundtanken i deres uddannelsespolitik styrket derved, at forskellene mellem kloge og mindre kloge børn og unge således mere synes at skyldes social arv end medfødt intelligens. Konklusionen må imidlertid siges at være stærkt overdrevet og næppe korrekt. I så fald ville man lige så vel kunne hævde, at menneskets gennemsnitshøjde er mere et socialt produkt, end just et genetisk produkt, selv om gennemsnitshøjden i Vesten i løbet af de sidste et hundrede års dramatisk ændrede ernærings- og sundhedstilstand kun ses øget med blot 9 cm. Arvens betydning for både intelligensniveauet (målt i IQ) og højden (målt i cm) er ifølge hyppigt gentagne korrelationsberegninger væsentlig større end miljøets betydning – på de her nævnte to områder af en størrelsesorden på henholdsvis 70% og 80%.

[10] Blodsænkning er en måling af, hvor meget de røde blodceller synker ned gennem en blodprøve i et reagensglas i løbet af en time. Analysen bruges ofte af læger til at påvise og følge kroniske betændelsestilstande i kroppen, men den siger dog ikke noget konkret om nøjagtig hvilken sygdom, der er tale om.

[11] Talskalaer med et absolut nulpunkt er kendetegnet ved ikke at indeholde negative talværdier. Da Celsius-skalaen indeholder negative tal (fx 10 graders frost = - 10^o), har den kun et relativt nulpunkt, nemlig der, hvor vand fryser til is. Derimod har en anden temperaturskala, Kelvin-skalaen, et sådant absolut nulpunkt (0^o K), og som har vist sig at ligge på - 273,15^o Celsius, hvor intet vil kunne blive koldere end det.

[12] Såfremt der ikke overalt kan antages at være samme afstand mellem alle skalaens måletrin, siges skalaen at mangle ækvidistans, hvilket netop er karakteristisk for alle ordinalskalaer.

[13] Manglende anvendelse af Spearmans korrelation skyldes dog også hyppigt, at denne formel ikke altid forefindes lagt ind i statistikprogrammerne på computeren.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Navigation

navigation

Themenportale