Konvergent følge

En konvergent følge er en talfølge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n},\ldots )}$, som konvergerer mod et eller andet tal ${\displaystyle a}$, dvs. har dette ${\displaystyle a}$ som grænseværdi; dette vil sige, at fra et eller andet sted i følgen ligger alle elementer vilkårligt tæt på ${\displaystyle a}$.

Formelt kan man sige, at talfølgen konvergerer mod ${\displaystyle a}$, hvis der til ethvert positivt tal ${\displaystyle \varepsilon }$ (uanset hvor arbitrært lille) kan findes et naturligt tal ${\displaystyle N}$, således at for alle ${\displaystyle n\geq N}$ vil afstanden ${\displaystyle |a_{n}-a|}$ være mindre end tallet ${\displaystyle \varepsilon }$. Definitionen kan skrives kortfattet med kvantorer:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} \,\forall \varepsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :n\geq N\Rightarrow |a_{n}-a|<\varepsilon }$

En følge, der ikke er konvergent, kaldes divergent.

Kilder

• Talfølger og -rækker: Introduktion til Matematisk Analyse. Af Dan Belfoft og Klaus Thomsen. Aarhus Universitet 2010.