Kommutativitet

Denne artikel har flere problemer. Hjælp med at løse dem eller diskutér problemerne på diskussionssiden. (Se hvornår og hvordan denne besked kan fjernes) Hvad handler artiklen om?. Denne artikels indledning bør kort forklare, hvad artiklen handler om, jf. stilmanualen. Husk at skrive det indlysende. (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked) Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet (april 2020) (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked) Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed. (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked)

Kommutativitet er et matematisk begreb. En operation (evt. en funktion af to variable) er kommutativ, hvis rækkefølgen af operationens operander er uden betydning for resultatet.

Binære operationer

Eftersom en binær operation løst set er en funktion ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot )}$, der fører to elementer fra den ene mængde tilbage til den samme mængde, ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot ):X\times X\rightarrow X}$. Og eftersom en binær operation har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operations to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operationer.

En binær operation ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot )}$ over en mængde ${\displaystyle M}$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.

${\displaystyle \forall a_{1},a_{2},a_{3}\in M:O_{2}(a_{1},a_{2})=O_{2}(a_{2},a_{1})}$

${\displaystyle \forall a_{1},a_{2}\in M:a_{1}\cdot a_{2}=a_{2}\cdot a_{1}}$

det vil sige, hvis alle elementer i ${\displaystyle (M,\cdot )}$ er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5

5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8

8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(ae+bg)&(af+bh)\\(ce+dg)&(cf+dh)\\\end{bmatrix}},}$

hvorimod

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(ea+fc)&(eb+fd)\\(ga+hc)&(gb+hd)\\\end{bmatrix}}.}$

Binære funktioner

En binær funktion løst set er en funktion ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot )}$, der fører ét element fra den ene mængde og et andet element fra den anden mængde over til den tredje mængde, ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot ):X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y}$. Og eftersom en binær funktion har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær funktions to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Dersom tilfældet ${\displaystyle X_{1}}$ ≠ ${\displaystyle X_{2}}$ overvejes, altså ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot ):X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y}$, kan kommutativitet ikke gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører hver deres mængde. Dersom tilfældet ${\displaystyle X_{1}}$ = ${\displaystyle X_{2}}$ = ${\displaystyle X}$ overvejes, altså ${\displaystyle F_{2}(\cdot ,\cdot ):X\times X\rightarrow Y}$, kan kommutativitet muligvis gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører den samme mængde.

Se også

• Associativitet
• Distributivitet
• Kommutator (matematik)

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.