Jævn cirkelbevægelse

Jævn cirkelbevægelse er en bevægelse med konstant vinkelhastighed i konstant afstand fra et omdrejningspunkt. Jorden udfører med god tilnærmelse en jævn cirkelbevægelse omkring Solen.

Kinematisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Hvis man indlægger et sædvanligt koordinatsystem med origo i centrum af den jævne cirkelbevægelse, er positionsvektoren som funktion af tiden givet ved

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={x(t) \choose y(t)}=r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}}$

hvor ${\displaystyle r}$ er radius i cirkelbevægelsen, ${\displaystyle \omega }$ er vinkelhastigheden, og ${\displaystyle t}$ er tiden. Det følger heraf at objektet gennemfører et omløb i tiden ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{\omega }}}$

Hastigheden i den jævne cirkelbevægelse findes ved differentiation mht. tiden:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={v_{x}(t) \choose v_{y}(t)}={\vec {r}}'(t)=\omega r{-\sin(\omega t) \choose \cos(\omega t)}}$

Det fremgår heraf, at hastigheden står vinkelret på positionsvektoren, og at farten er givet ved:

Accelerationen i den jævne cirkelbevægelse findes atter ved differentiation mht. tiden:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={a_{x}(t) \choose a_{y}(t)}={\vec {v}}'(t)={\vec {r}}''(t)=-\omega ^{2}r{\cos(\omega t) \choose \sin(\omega t)}}$

Det fremgår heraf, at accelerationen er parallel med positionsvektoren og rettet ind mod centrum af bevægelsen. Der ses endvidere, at accelerationens størrelse er:

${\displaystyle a=\omega ^{2}r}$

Jf. ligning 1 er det det samme som:

Dynamisk beskrivelse af jævn cirkelbevægelse

Pga. lign. 1 er impulsens størrelse givet ved:

${\displaystyle p=mv=m\omega r}$

hvor ${\displaystyle m}$ er massen af det objekt som udfører den jævne cirkelbevægelse.

Af Newtons anden lov og lign. 2 følger, at størrelsen på kraften i den jævne cirkelbevægelse er givet ved

${\displaystyle F=ma=m\omega ^{2}r}$

Ligesom accelerationsvektoren ændrer kraftvektoren bestandigt retning. Den peger ind mod centrum og kaldes derfor centripetalkraften.

Kraftmomentet er nul i en jævn cirkelbevægelse. Det følger af, at kraftvektoren er parallel med positionsvektoren. Som konsekvens heraf er impulsmomentet bevaret. Størrelsen på impulsmomentet ${\displaystyle L}$ er konstant og lig med:

${\displaystyle L=rp=m\omega r^{2}}$

Den kinetiske energi i en jævn cirkelbevægelse er givet ved:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega ^{2}r^{2}}{2}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}={\frac {L^{2}}{2I}}}$

hvor ${\displaystyle I=mr^{2}}$ er inertimomentet.