Indhylningskurve

En familie af lige linjer samt den resulterende indhylningskurve.

En indhylningskurve (engelsk: envelope) er i geometrien en kontinuer kurve, hvor hvert punkt til sammen tangerer alle medlemmer af en familie af kurver.

Definition

Enhver kurve i to dimensioner kan skrives som:

${\displaystyle y=f_{t}(x)}$

hvor ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ er koordinater, og ${\displaystyle t}$ er et parameter for kurvefamilien. Den kan dog også skrives som en funktion lig nul:

${\displaystyle g_{t}(x,y)=0}$

Tilsvarende må der være en funktion ${\displaystyle F}$ lig nul for indhylningskurven:

${\displaystyle F(x,y,t)=0}$

(1)

indhylningskurven gælder for alle værdier af ${\displaystyle t}$ – den skal dække hele familien – så:

${\displaystyle F(x,y,t_{1})=F(x,y,t_{2})=0}$

Deraf følger, at

${\displaystyle {\frac {F(x,y,t_{2})-F(x,y,t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=0}$

Når ${\displaystyle t_{1}}$ går mod ${\displaystyle t_{2}}$, er dette definitionen på en differentialkvotient:

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0}$

(2)

Ligning 1 og 2 definerer indhylningskurven.^[1]

Eksempel

I denne familie går hver linje mellem punkterne (${\displaystyle t}$,0), (0,${\displaystyle k-t}$). Her er ${\displaystyle k=1}$.

Inden for string art er det almindeligt at lade lige snore gå fra søm til søm for derved at skabe nye former.

I et simpelt tilfælde forbinder hver snor punkterne ${\displaystyle (t,0)}$ og (${\displaystyle 0,k-t)}$, hvor ${\displaystyle k}$ er en konstant, og ${\displaystyle t}$ er familiens parameter. Den lige linje er da givet ved:

${\displaystyle y=-{\frac {k-t}{t}}x+k-t}$

Ved at trække ${\displaystyle y}$ fra findes ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle F(x,y,t)=-{\frac {kx}{t}}-t+k+x-y=0}$

Den afledte er da:

${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}={\frac {kx}{t^{2}}}-1=0}$

Af denne ligning følger det, at:

${\displaystyle t={\sqrt {kx}}}$

Dette indsættes i udtrykket for ${\displaystyle F}$, og ${\displaystyle y}$ isoleres:

${\displaystyle {\begin{aligned}y=&-{\frac {kx}{\sqrt {kx}}}+x+k-{\sqrt {kx}}\\y=&x+k-2{\sqrt {kx}}\\y=&({\sqrt {x}}-{\sqrt {k}})^{2}\end{aligned}}}$

Dermed er indhylningskurven fundet.

Kildehenvisninger