Grundrelationen

Her er grundrelationen vist grafisk.^[1]

Den trigonometriske grundrelation^[1] (også kaldet idiotformlen^[2] eller idiotreglen^[1]) er en matematisk ligning af den slags, der kaldes en identitet (fordi den er sand for ethvert ${\displaystyle x}$). Den siger at kvadraterne på sinus og cosinus til det samme tal ${\displaystyle x}$ tilsammen altid er lig med 1:

${\displaystyle \left(\sin(x)\right)^{2}+\left(\cos(x)\right)^{2}=1}$

Til tider ser man samme ligning skrevet under brug af en lidt speciel, men ækvivalent, notation for kvadraterne på sinus og cosinus:^[1]

${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\,}$

Bevis

Beviset for denne identitet kommer af at anvende Pythagoras' læresætning på en retvinklet trekant med en hypotenuse med længden 1: Hvis den ene spidse vinkel i trekanten samtidig er en centervinkel i cirklen af størrelse ${\displaystyle x}$, så har trekantens to kateter længderne hhv. sinus og cosinus til denne vinkel. Pythagoras' læresætning siger, at summen af kvadraterne på de to kateter er lig med kvadratet på hypotenusen, og i og med at hypotenusen er en radius i enhedscirklen, er dens længde altid 1. Og kvadratet på 1 er 1² = 1.

Referencer