Ideel kæde

Illustration af den ideelle kæde. Hvert led har en tilfældig retning, men sammenlagt har polymeren en udstrækning.

Den ideelle kæde (engelsk: ideal chain eller freely jointed chain (FJC))[1] er den simpleste model for en polymers konformation og giver et mål for dens udstrækning.

Modellen

I modellen betragtes en polymer som en lineær kæde, der består af mindre led. Hvert led er helt stift og har længden . Hvis der er led i kæden, er kædelængden følgelig:

Hvert led kan indtage en hvilken som helst vinkel i forhold til det forrige led, inklusiv overlapning. Polymeren følger altså en random walk.

Afstanden fra den ene ende til den anden

Hvis et led kan beskrives med en enhedsvektor , er den den samlede vektor fra den ene ende af polymeren til den anden givet ved:

Prikproduktet - dvs. længden af i anden - er:

Dette resultat afhænger af den specifikke konfiguration, men et gennemsnit over alle konfigurationer kan findes:

Da og er placeret tilfældigt, vil prikproduktet i gennemsnit give nul med undtagelse af , da vektoren i så fald ganges med sig selv, hvilket giver én. Det kan skrives som Kroneckers delta :

Da der er led i kæden, vil summen også give :

Tages kvadratroden har man en root-mean-square-længde :

Denne størrelse udtrykker, hvor langt polymeren strækker sig eller mere præcist afstanden fra den ene ende af polymeren til den anden. Det ses, at afstanden vokser med , hvilket er langsommere end den fulde kædelængde, der vokser med . Dette kan også udtrykkes med kædelængden:

En polymer vil altså have tendens til at krølle sig sammen, hvilket kaldes en polymer coil.[2] I denne model betragtes polymerens sammenkrølning som et rent entropisk fænomen. Mere avancerede modeller medregner andre bidrag såsom ekskluderet volumen, stivhed i de enkelte led og elektrostatisk frastødning eller tiltrækning etc.

Gyrationsradius

En lignende værdi, der kan beregnes, er gyrationsradiussen, som beskriver den gennemsnitlige afstand mellem polymerens massemidtpunkt og hvert enkelt led:

For at finde et udtryk for gyrationsradiussen for den ideelle kæde kan koordinatsystemet for det første vælges således, at massemidpunktet ligger i origo, og positionsvektoren derfor er nul:

For at relatere det til den tidligere fundne RMS-længde betragtes nu en sum af afstandene mellem de enkelte led. Afstanden mellem og er givet ved:

Så:

Det sidste led er blot et produkt af massemidpunkter og derfor nul

Mens resten bliver:

Dermed kan gyrationsradiussen skrives som:

Det ses, at elementerne i summen er RMS-længder, så de kan erstattes af det forrige fundne udtryk:

hvor her er erstattet af , hvilket er antallet af led i hver RMS-længde. Denne dobbeltsum kan skrives som to separate summer

og disse summer kan evalueres:

For store værdier af er det andet led i tælleren negligibelt, og gyrationsradiussen er derfor givet ved:

Gyrationsradiussen kan altså også skrives som:

eller

Det ses, at gyrationsradiussen altså har samme afhængighed af som RMS-længden.[3]

Persistenslængde

For den ideelle kæde er persistenslængden nul. Dvs. at det enkelte led ikke afhænger af de andre led. Dette kan vises ved at beregne korrelationsfunktionen mellem led og led , der ligesom ved beregningen af er lig med Kroneckers delta:

Hvis der i stedet er en bøjningsenergi forbundet med vinklen mellem naboled - som det fx er tilfældet i den diskrete Kratky-Porod-model og den kontinuere ormelignende kæde[4] - vil persistenslængden være større end nul.[1]

Kildehenvisninger

  1. ^ a b Theodorakopoulos, Nikos (2020). "1 - Statistical mechanics of simple polymer chain models". Statistical Physics of DNA (engelsk) (1. udgave). World Scientific. s. 1-17. doi:10.1142/11533.
  2. ^ Jensen, Peter (2006), Polymer models (PDF), Ludwig-Maximilians-Universität München, s. 7
  3. ^ Hammouda, Boualem (2016), Chapter 26: Radius of gyration calculations (PDF), NIST Center for Neutron Research, s. 9-10, hentet 21. april 2021
  4. ^ Phillips, Rob; Kondev, Jane; Theriot, Julie; Garcia, Hernan G. (2003). "Ch. 8 - Random Walks and the Structure of Macromolecules". Physical Biology of the Cell (engelsk) (2. udgave). Garland Science. s. 319-321. ISBN 978-0-8153-4450-6.

Medier brugt på denne side

Ideal chain random walk.svg
Random walk on a plane. The dashed line represents the end-to-end vector.