Herons formel

Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet ${\displaystyle A}$ af en trekant med siderne ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

hvor ${\displaystyle s}$ er trekantens halve omkreds, dvs.

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

I specialtilfældet ${\displaystyle a=b=c}$ (ligesidet trekant), fås

${\displaystyle A={\sqrt {{\frac {3a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}$

i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.

Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.

Historie

Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.

Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {a^{2}\cdot c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

Bevis

På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant ${\displaystyle ABC}$, som ved hjælp af højden ${\displaystyle h}$ er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden ${\displaystyle b}$ i to dele med længderne ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle b-x}$.

Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:

For trekanten til venstre for højden:

${\displaystyle h^{2}+x^{2}=c^{2}\Leftrightarrow h^{2}=c^{2}-x^{2}}$

For trekanten til højre for højden:

${\displaystyle h^{2}+(b-x)^{2}=a^{2}\Leftrightarrow h^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}}$

Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig ${\displaystyle h^{2}}$. Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-x^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\end{aligned}}}$

Nu er ${\displaystyle c^{2}}$ blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-(b-x)^{2}+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-(b^{2}+x^{2}-2\cdot b\cdot x)+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2\cdot b\cdot x+x^{2}\Leftrightarrow \\c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\end{aligned}}}$

Den sidste ligning skrives nu om, så ${\displaystyle x}$ er isoleret:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}-b^{2}+2\cdot b\cdot x\Leftrightarrow \\-2\cdot b\cdot x&=a^{2}-b^{2}-c^{2}\Leftrightarrow \\x&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2\cdot b}}\Leftrightarrow \\x&={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

For at regne videre med dette ${\displaystyle x}$, "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}$

Ved at erstatte ${\displaystyle x}$ med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-x^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b}}\right)^{2}}}\Leftrightarrow \\h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\end{aligned}}}$

For at få ${\displaystyle c^{2}}$ "bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med ${\displaystyle \left(2\cdot b\right)^{2}}$:

${\displaystyle c^{2}={\frac {c^{2}\cdot \left(2\cdot b\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}={\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}$

Ved at erstatte ${\displaystyle c^{2}}$ i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {c^{2}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {{\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}-{\frac {\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{\left(2\cdot b\right)^{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)}$ til at omskrive denne del af udtrykket:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c\right)^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}2\cdot b\cdot c+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}\cdot {\big (}2\cdot b\cdot c-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke ${\displaystyle 2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}}$, som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til ${\displaystyle (b+c)^{2}}$. I udtrykket for højden ${\displaystyle h}$ kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {\left(2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at

${\displaystyle 2\cdot b\cdot c+b^{2}+c^{2}=(b+c)^{2}\Leftrightarrow 2\cdot b\cdot c-c^{2}-b^{2}=-(c-b)^{2}}$

og så kan udtrykket for ${\displaystyle h}$ forenkles på denne måde:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot \left(2\cdot b\cdot c-b^{2}-c^{2}+a^{2}\right)}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)^{2}-a^{2}{\big )}\cdot {\big (}a^{2}-\left(c-b\right)^{2}{\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {{\big (}\left(b+c\right)+a{\big )}\cdot {\big (}\left(b+c\right)-a{\big )}\cdot {\big (}a+\left(c-b\right){\big )}\cdot {\big (}a-\left(c-b\right){\big )}}}{2\cdot b}}\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\end{aligned}}}$

I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.

Højden ${\displaystyle h}$ er tegnet ud fra grundlinjen ${\displaystyle b}$, og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal ${\displaystyle A}$ som:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b}$

Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for ${\displaystyle h}$ ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\cdot h\cdot b\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{2\cdot b}}\cdot b\\&={\frac {\sqrt {\left(b+c+a\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a-c+b\right)}}{4}}\end{aligned}}}$

Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s\cdot \left(s-a\right)\cdot \left(s-b\right)\cdot \left(s-c\right)}}\ ,\ s={\frac {a+b+c}{2}}\Leftrightarrow \\A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\end{aligned}}}$

For at få hhv. ${\displaystyle -a}$, ${\displaystyle -b}$ og ${\displaystyle -c}$ "bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-a\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-b\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-c\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot a}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot b}{2}}\right)\cdot \left({\frac {a+b+c}{2}}-{\frac {2\cdot c}{2}}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot a}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot b}{2}}\cdot {\frac {a+b+c-2\cdot c}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {b+c-a}{2}}\cdot {\frac {a+c-b}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}{16}}}\\&={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\cdot \left(b+c-a\right)\cdot \left(a+c-b\right)\cdot \left(a+b-c\right)}}{4}}\end{aligned}}}$

Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.