Hermitisk matrix

En Hermitisk matrix er en kompleks matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, som er lig med sin egen Hermitisk konjugerede ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$

Tilsvarende for de enkelte elementer:

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}}$

Dvs. at matricen ikke ændrer sig, hvis den transponeres og kompleks konjugeres. En Hermitisk matrix, der er reel, er blot en symmetrisk matrix.

Matricen er opkaldt efter den franske matematiker Charles Hermite.

Eksempel

Som eksempel er matricen

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2i&3\\2i&-4&i\\3&-i&6\end{bmatrix}}}$

Hermitisk. Den transponerede er:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{T}={\begin{bmatrix}1&2i&3\\-2i&-4&-i\\3&i&6\end{bmatrix}}}$

Den komplekst konjugerede af det er blot

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }=\left({\boldsymbol {A}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}1&-2i&3\\2i&-4&i\\3&-i&6\end{bmatrix}}}$

hvilket er det samme som matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.