Harmonisk række
Indforstået sprog Denne artikel er skrevet i et meget indforstået sprog. Du kan gøre artiklen bedre ved at omskrive den i et sprog, der er lettere at forstå for folk uden forudgående viden om emnet. |
I matematikken er den harmoniske række den uendelige række
Rækken og dens egenskaber
Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken
som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal
også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:
Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.
Hvis det n'te harmoniske tal defineres som
gælder, at Hn vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet
hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:
hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at
- Det eneste heltallige Hn er H1.
- Differensen Hm − Hn hvor m > n aldrig er et heltal.
Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet
hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.
Andre relevante definitioner
Den generelle harmoniske række er på formen
Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.
Rækkerne
for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktion på p.
Harmoniske middeltal
Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled
Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved
Med de to mellemregninger ovenover fås nu
Se også
Medier brugt på denne side
Harmonic partials on strings