Forhold mellem ortogonale linjer

I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.

Sætning

To linjer ${\displaystyle m_{1}}$ og ${\displaystyle m_{2}}$, med hældningskoefficienterne henholdsvis ${\displaystyle \alpha _{1}}$ og ${\displaystyle \alpha _{2}}$, er ortogonale netop, hvis produktet af deres hældninger er ${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle m_{1}\perp m_{2}{\frac {}{}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}=-1{\frac {}{}}}$

Bevis

(c) Dingler at the Danish language Wikipedia, CC BY-SA 3.0

Vi betragter tegningen. Kan vi se at;

${\displaystyle m_{1}\perp m_{2}{\frac {}{}}}$

Vi benytter os af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).

${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=|BC|^{2}{\frac {}{}}}$

Vi ser på tegningen. Længden ${\displaystyle |BD|}$ kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen ${\displaystyle m_{1}}$. Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå ${\displaystyle \alpha _{1}}$ opad ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for ${\displaystyle \alpha _{2}}$, med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. ${\displaystyle -(-3)=3}$.

Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:

${\displaystyle \left(1^{2}+\alpha _{1}^{2}\right)+\left(1^{2}+\alpha _{2}^{2}\right)=\left(\alpha _{1}+(-\alpha _{2})\right)^{2}}$

Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:

${\displaystyle 1^{2}+\alpha _{1}^{2}+1^{2}+\alpha _{2}^{2}=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}-2\cdot \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle 2=-2\cdot \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}{\frac {}{}}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle {\frac {2}{-2}}=\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle -1=\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}}$

Vi ser således at første linje, ${\displaystyle m_{1}\perp m_{2}}$, medfører den sidste linje, ${\displaystyle \alpha _{1}\cdot \alpha _{2}=-1}$.

Sætningen er dermed bevist.