d'Alembert-operatoren

Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet.

D'Alembert-operatoren (symbol: ${\displaystyle \Box }$) (eller boks-operatoren) er en differential-operator, der anvendes i bølgeteori, speciel relativitetsteori og elektromagnetisme. Operatoren optræder i Minkowski-rum i stedet for Laplace-operatoren og er opkaldt efter den franske matematiker og fysiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783).

Operatoren

Operatoren er givet ved følgende sammensætning af partielle afledte:

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

hvor ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle z}$ er de tre rumlige koordinater, ${\displaystyle t}$ er tiden, og ${\displaystyle c}$ er lysets hastighed. Vha. Laplace-operatoren ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ kan dette også skrives som:

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$

Anvendelse

Bølger beskrives af bølgeligningen

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$

hvor ${\displaystyle u}$ er bølgens forskydning. Med d'Alembert-operatoren kan dette skrives mere kompakt som:

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.