Chi i anden-test

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Chi i anden-test (χ²-test) betegner i den matematiske statistik en række hypotesetests med χ²-fordelte teststørrelser.

Man skelner typisk mellem tre typer tests:

• Fordelingstest: Test, hvor man viser, om data kan siges at være fordelt med den forventede fordeling.
• Uafhængighedstest: Test, hvor man viser, om to fordelinger er stokastisk uafhængige
• Homogenitetstest: Test, hvor man viser, om to eller flere stikprøver kommer fra samme fordeling

Chi i anden-testen og den dertilhørende teststatistik blev første gang beskrevet af den britiske matematiker og statistiker Karl Pearson^[1] (1857-1936).

For at finde ud af, om data følger en forventet fordeling, kan man anvende chi i anden-test. Dette gøres ved at finde sandsynligheden, for at afvigelsen q ligger i den kritiske mængde. I modsætning til binomialtest kan man arbejde med et større antal hændelser end 2.

Mere præcist er sandsynligheden defineret som sandsynligheden for at den stokastiske variabel χ² er større end vores afvigelse q. (Hvilket kan skrives P(χ²- ≥ q)) Formlen for Q (og q) er:^[2]

${\displaystyle Q={\frac {(h_{1}-x_{1})^{2}}{x_{1}}}+{\frac {(h_{2}-x_{2})^{2}}{x_{2}}}+...+{\frac {(h_{k}-x_{k})^{2}}{x_{k}}}={\frac {(h_{1}-n\cdot p_{1})^{2}}{n\cdot p_{1}}}+{\frac {(h_{2}-n\cdot p_{2})^{2}}{n\cdot p_{2}}}+...+{\frac {(h_{k}-n\cdot p_{k})^{2}}{n\cdot p_{k}}}}$

hvor h₁, h₂,...,h_k er de observerede stikprøvehyppigheder for de k hændelser, x₁, x₂,...,x_k er modelhyppighederne og p₁, p₂,...,p_k er sandsynlighederne for de k hændelser.

Når man ved hjælp af en chi i anden test vil teste, om de teoretiske sandsynligheder for de k hændelser ved eksperimentet E kan accepteres, så starter man med at udføre E n antal gange. På grundlag heraf udregnes q vha. den ovenstående formel og man kan således bestemme P(Q≥q) = P(χ²≥q) med visse lommeregnere. (Blandt andre TI-89 og TI-Nspire CX CAS)

Hvis den fundne sandsynlighed er lille, kan man konkludere, at de teoretiske sandsynligheder ikke er rigtige; dermed må den opstillede hypotese^[3] forkastes. Ofte vælger man en procentsats på 1 %, 5 % eller 10 %. Den valgte procentsats kaldes signifikansniveau.^[4]

Regneark^[5] eller lignende^[6] programmer^[7] kan beregne chi i anden-test.

Regnearket Excel har den indbyggede kommando =chifordeling(teststørrelse;frihedsgrader) til at beregne p-værdien.^[8]

χ²-fordelingen (som ses på illustrationen) er ligesom normalfordelingen en absolut kontinuert tæthedsfunktion, hvor arealet under grafen er lig 1, men i modsætning til normalfordelingen, ændrer χ²-fordelingen sig alt efter antallet af frihedsgrader. Når vi i χ²-testen finder P(χ² ≥ q) finder vi altså arealet under grafen til højre for q – hvilket netop er det kritiske område.

Antal frihedsgrader^[9] f er defineret som k – 1. Dette skyldes, at man i enhver fordeling har den sidste mulighed bestemt i kraft af de foregående.