Brøk

En brøk er en måde at repræsentere et tal på ved hjælp af division: Den skrives som vist til højre, som en vandret brøkstreg der adskiller to tal, tælleren øverst og nævneren neden under. Ind i mellem ser man også brøker skrevet med en skråstreg i stedet for den vandrette brøkstreg – typisk hvis den første skrivemåde er teknisk besværlig eller umulig at opnå.

En brøk repræsenterer det eksakte tal man får ved at dividere tælleren med nævneren: Eksemplet med ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ repræsenterer således 2 : 3, der udtrykt som decimalbrøk er ca. 0,6667 – dette tal kan faktisk ikke skrives helt præcist som et decimaltal, så brøker er nyttige hvis man ønsker at beregne noget helt eksakt.

Specielt hvis både tæller og nævner er et heltal, så er brøken et rationalt tal.

Ægte og uægte brøker

Man skelner mellem ægte og uægte brøker, hvor de ægte brøker altid repræsenterer et tal der er (numerisk) mindre end 1, f.eks. ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$. Er tælleren større end eller lig nævneren, repræsenterer brøken et tal der er (numerisk) større end eller lig 1, og så er der tale om en uægte brøk.
Uægte brøker kan også skrives som et såkaldt blandet tal. For eksempel er ${\displaystyle {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{2}}}$, og som blandet tal skrives denne brøk således ${\displaystyle 1{\frac {1}{2}}}$. Denne notation bør dog undgås da ${\displaystyle 1{\frac {1}{2}}}$ normalt vil blive opfattet som ${\displaystyle 1\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

Forlængelse og forkortelse

Ved at multiplicere ("gange") tælleren a og nævneren b med ét og samme tal, får man en "ny" brøk, som repræsenterer samme tal som den oprindelige brøk. Matematisk kan man skrive det således:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}}$
Man omtaler det sådan at brøken ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ er blevet forlænget med tallet c. I eksemplet herunder forlænges brøken ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$ med 3:
${\displaystyle {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}}$
Bemærk at ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$ og ${\displaystyle {\frac {6}{15}}}$ begge repræsenterer det samme tal, nemlig 0,4.

Omvendt, hvis man kan finde et tal c der går op i både tæller og nævner (dvs. begge tal kan deles med c uden at der bliver en rest), kan man dividere tælleren og nævneren med dette tal, og få en ny brøk der stadigvæk repræsenterer samme tal som den oprindelige brøk. Dette kaldes at forkorte en brøk, og matematisk kan det skrives sådan her:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}}$
Brøken ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ siges at være forkortet med tallet c. I eksemplet herunder bliver brøken ${\displaystyle {\frac {6}{8}}}$ forkortet med 2:
${\displaystyle {\frac {6}{8}}={\frac {6:2}{8:2}}={\frac {3}{4}}}$ Igen ser man at både den oprindelige brøk og resultatet af forkortelsen repræsenterer samme tal, her 0,75.

Regneregler for brøker

Der findes et antal regneregler der gør det muligt at regne direkte på brøker, så man bibeholder den eksakte repræsentation af tallene:

Addition og subtraktion

Hvis de to brøker har samme nævner, kan man uden videre lægge dem sammen eller trække dem fra hinanden, ved at addere eller subtrahere tællerne, og bevare nævneren. Matematisk skrives dette således:
${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$ hhv. ${\displaystyle {\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}={\frac {a-b}{c}}}$
I eksemplet herunder beregnes summen af ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ og ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$:
${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}}$
Efter additionen (subtraktionen) kan resultat-brøken muligvis forkortes.

Hvis brøkerne har forskellige nævnere, bliver det nødvendigt at forlænge den ene eller begge brøker sådan at de får ens nævnere – brøkerne repræsenterer stadigvæk de samme tal selv om man forlænger eller forkorter dem. Derefter kan de adderes eller subtraheres som nævnt ovenfor.
Man kan bruge produktet af de to nævnere som den fælles nævner:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {c\cdot b}{d\cdot b}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}}$
Bemærk at den første brøk forlænges med den sidstes nævner, og den sidste brøk forlænges med den førstes nævner. Derved bliver nævnerne hhv. b · d og d · b, som jo er lig med hinanden.
I eksemplet herunder adderes brøkerne ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ og ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$:
${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {5}{6}}}$
I det sidste eksempel subtraheres to brøker. Som fællesnævner vælges her et mindre tal end produktet af de oprindelige nævnere, men alligevel bliver det til sidst muligt at forkorte:
${\displaystyle {\frac {5}{6}}-{\frac {1}{10}}={\frac {5\cdot 10}{6\cdot 10}}-{\frac {1\cdot 6}{10\cdot 6}}={\frac {50}{60}}-{\frac {6}{60}}={\frac {44}{60}}={\frac {11}{15}}}$

Multiplikation

Man multiplicerer ("ganger") to brøker med hinanden ved at multiplicere tællerne for sig og nævnerne for sig:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}$
Resultatet efter multiplikationen kan muligvis forkortes.

I dette eksempel multipliceres brøkerne ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ og ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$:
${\displaystyle {\frac {3}{5}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {3\cdot 1}{5\cdot 4}}={\frac {3}{20}}}$

Reciprokke brøker

Man finder den reciprokke af en brøk ved ganske enkelt at bytte om på brøkens tæller og nævner:
${\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}$
Eksempelvis er det reciprokke af ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ lig med ${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$. Denne uægte brøk kan i øvrigt skrives som det blandede tal ${\displaystyle 1{\frac {1}{3}}}$.

Division

Generelt gælder, at man kan dividere to tal ved at multiplicere dividenden med det reciprokke af divisoren, altså ${\displaystyle a:b=a\cdot {\frac {1}{b}}}$. Dette kan også bruges til division af brøker, hvor beregningen ser sådan her ud:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}$
Skal man f.eks. dividere ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$ med ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$, foregår det sådan her:
${\displaystyle {\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {12}{10}}}$
Denne uægte brøk kan forkortes til ${\displaystyle {\frac {6}{5}}}$. og skrives som det blandede tal ${\displaystyle 1{\frac {1}{5}}}$.

Umuligheden af division med nul

En lommeregner fra Texas Instruments viser en fejlmeddelelse ved forsøg på division med nul

Man kan ikke dividere med nul. Antag, at f.eks. ${\displaystyle {\frac {7}{0}}}$ skulle have et resultat, kaldet ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {7}{0}}=x}$

så vil det gælde, at ${\displaystyle 7=0\cdot x=0}$, hvilket jo er umuligt. Brøken ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, hvor ${\displaystyle b=0}$, er altså et meningsløst udsagn.

Rødder og potenser

Man uddrager den n'te rod af en brøk ved at uddrage samme rod af hhv. tæller og nævner:
${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}$
For eksempel uddrager man kvadratroden (n = 2) af ${\displaystyle {\frac {9}{16}}}$ således:
${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{16}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {16}}}={\frac {3}{4}}}$
Tilsvarende gælder for den n'te potens af en brøk:
${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Logaritmer

Da en brøk egentlig er en division, gælder logaritmeregnereglen for division også for en brøk, dvs.:
${\displaystyle log{\frac {a}{b}}=\log a-\log b}$

Brøk som eksponent

Hvis en brøk optræder som eksponenten i en potens (med positivt grundtal), kan udtrykket omskrives til en rod efter følgende princip:
${\displaystyle 10^{\frac {3}{5}}=\left({\sqrt[{5}]{10}}\right)^{3}}$ eller ${\displaystyle 10^{\frac {3}{5}}={\sqrt[{5}]{10^{3}}}={\sqrt[{5}]{1000}}}$

Procent og promille

Procent og promille er en måde at udtrykke ting som en brøk: "Procent" er hundrededele; ordet betyder direkte "pr. hundrede", og således er 20% = ${\displaystyle {\frac {20}{100}}}$. Tilsvarende betyder "promille" "per tusinde", og f.eks. er 3 ‰ det samme som ${\displaystyle {\frac {3}{1000}}}$.

Software

Xcas foretager brøkregning uden fælles nævner.

Der findes software som f.eks. Xcas, der kan klare brøkregning uden at beregne fælles nævner.

Se også

• Kædebrøk