Boltzmanns entropiformel

Boltzmanns entropiformel er inden for den statistiske mekanik en central formel, der forbinder et systems entropi ${\displaystyle S}$ med antallet af mulige mikrotilstande ${\displaystyle \Omega }$.

${\displaystyle S=k_{\text{B}}\ln \Omega }$

hvor ${\displaystyle \ln }$ er den naturlige logaritme, mens ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ er en proportionalitetskonstant kaldet Boltzmanns konstant. Formlen gælder, når hver mikrotilstand er lige sandsynlig.^[1]

Udledning

Ligningen kan udledes fra Gibbs' entropiformel

${\displaystyle S=-k_{\text{B}}\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}$

som er fysikkens version af Shannons entropiformel fra informationsteori. Mikrotilstanden ${\displaystyle i}$ har sandsynligheden ${\displaystyle P_{i}}$, men for Boltsmanns formel skal alle ${\displaystyle \Omega }$ mikrotilstande være lige sandsynlige, så:

${\displaystyle P_{i}={\frac {1}{\Omega }}}$

Dette indsættes i Gibbs' formel:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=-k_{\text{B}}\sum _{i}^{\Omega }{\frac {1}{\Omega }}\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)\\S&=-k_{\text{B}}\Omega {\frac {1}{\Omega }}\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)\\S&=-k_{\text{B}}(-\ln \Omega )\\S&=k_{\text{B}}\ln \Omega \end{aligned}}}$

Dermed er Boltzmanns entropiformel blevet udledt.^[1]

Kildehenvisninger