Beltrami-identiteten

Beltrami-identiteten er inden for variationsregning en forsimpling af Euler-Lagrange-ligningen.

Identiteten

For et variationsproblem på formen:

hvor

er den generelle løsning en Euler-Lagrange-ligning:

Hvis ikke eksplicit afhænger af , reducerer ligningen til den simplere Beltrami-identitet:

hvor er en konstant.

Udledning

At ikke eksplicit afhænger af , betyder, at den partielt afledte mht. er 0:

Den almindelige afledte

er da givet ved:

Dette kan omarrangeres:

Tilsvarende kan Euler-Lagrange-ligningen ganges med :

Udtrykket for det første led kan indsættes:

Det er det samme som:

Siden den afledte er nul, må udtrykket være lig med en konstant :

Dermed er Beltrami-identiteten udledt.[1]

Anvendelse

Inden for analytisk mekanik i fysik er Lagrangen, mens konstanten er den negative Hamilton :

Den afledte Lagrange kaldes for den generaliserede impuls :

repræsenterer tiden, hvilket vil sige, at Hamiltonen for et system er bevaret, hvis Lagrangen ikke eksplicit afhænger af tiden.[2]

Kildehenvisninger

  1. ^ Weisstein, Eric W., Beltrami Identity, Wolfram Alpha, hentet 12. juli 2019
  2. ^ Lars-Erik Persson, Lars-Erik. "3. The Hamiltonian" (engelsk). Luleå tekniska universitet. Arkiveret fra originalen 7. maj 2020. Hentet 8. maj 2020.