Atomare enheder

Dette enhedssystem bruges inden for kvantekemi. For det tilsvarende system inden for højenergifysik, se Naturlige enheder.

Atomare enheder er et enhedssystem, hvor faktorer kan sættes lig med 1 og derved gøre ligninger simplere. Atomare enheder bruges hovedsageligt inden for atomfysik og kvantekemi.

Motivation og definition

Schrödinger-ligningen for en elektron i et Coulomb-potential - et brintatom - er med SI-enheder givet ved:

${\displaystyle \left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$

Det første led er den kinetiske energi, hvor ${\displaystyle i}$ er den imaginære enhed, ${\displaystyle \hbar }$ er Plancks konstant divideret med ${\displaystyle 2\pi }$, ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ er elektronens masse, og ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ er Laplace-operatoren. Det andet led er potentialet fra atomkernen, hvor ${\displaystyle e}$ er en elementarladning, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er vakuumpermittiviteten, og ${\displaystyle r}$ er afstanden til atomkernen. På højre side er ${\displaystyle E}$ elektronens energi. Elektronen er på begge sider repræsenteret af bølgefunktionen ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$.

Denne ligning er fuld af faktorer, som kan sætte lig med 1. Dette kan vises ved først at omskrive afstandene til at være givet ved antal ${\displaystyle \lambda }$, hvor ${\displaystyle \lambda }$ er ukendt:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow \lambda x\\y&\rightarrow \lambda y\\z&\rightarrow \lambda z\\r&\rightarrow \lambda r\end{aligned}}}$

Når dette indsættes, er den første faktor nu divideret med ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ pga. Laplace-operatoren, mens den anden faktor er divideret med ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }\lambda ^{2}}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\lambda }}{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$

For at faktorerne kan sættes uden for parantesen, skal de være lig med hinanden. Derved kan ${\displaystyle \lambda }$ bestemmes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }\lambda ^{2}}}&={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\lambda }}\\{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }\lambda }}&={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\\\lambda &={\frac {4\pi \varepsilon _{0}}{e^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }}}\end{aligned}}}$

Dette er Bohr-radiussen

${\displaystyle \lambda =a_{0}}$

og den atomare enhed for afstand kaldes derfor for Bohr, hvor:

Faktorerne kan nu flyttes uden for parantesen:

${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$

Denne faktor har enhed af energi, og energien ${\displaystyle E}$ omdefineres derfor til at være antallet af denne størrelse:

${\displaystyle E\rightarrow {\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}E}$

Den atomare enhed for energi kaldes for Hartree, hvor

Schrödinger-ligningen med atomare enheder skrives altså

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{r}}\right)\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$

hvilket er meget simplere end før.

Som eksempel har elektronens grundtilstand jf. Bohrs atommodel nu energien ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$ Hartree eller blot ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$.^[1]

Kildehenvisninger