Arcus-funktioner

Arcus-funktionerne, også kaldet de circulære funktioner eller blot de omvendte trigonometriske funktioner, er omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner med restriktioner i deres definitionsmængder for at gøre dem injektive. Der findes arcus-funktioner til sinus, cosinus, tangens, samt deres reciprokke funktioner: cosekans, sekans og cotangens. De bruges til at beregne en vinkel ud fra kendte forholdstal i en trekant og er hyppigt brugte i ingeniørvidenskab, navigation, fysik og geometri.

Notation

Der er flere notationer som bruges for arcus-funktioner.

Det mest almindelige er at bruges "arc-" som et præfiks: $arcsin(x)$ , $arccos(x)$ , $arctan(x)$ osv. Disse navne udtales "arcus-sinus til x", "arcus-cosinus til x", "arcus-tangens til x" osv.

Inden for datalogi (programmeringssprog, regneark, lommeregnere og tilsvarende) vil man ofte se forkortede notationer: asin, acos, atan osv.

Notationerne $sin -1 (x)$ , $cos -1 (x)$ , $tan -1 (x)$ osv. som blev indført af John Herschel i 1813^[1]^[2] bruges også ofte. Denne metode er i logisk konflikt med notationer som $sin 2 (x)$ som traditionelt bruges til betegne $(sin(x)) 2$ og ikke $sin(sin(x))$ . Risikoen for forveksling er dog begrænset, specielt da de reciprokke trigonometriske funktioner har egne navne. Ikke desto mindre råder nogle forfattere til at undgå denne notation pga. dens tvetydighed.^[3]

Grundliggende egenskaber

Da ingen af de seks trigonometriske funktioner er injektive (en-til-en) er det nødvendigt at indføre restriktioner for at kunne danne omvendte funktioner. For eksempel har ligningen sin(x) = 0 uendelig mange løsninger: x = nπ for alle heltal n, så man er nødt til at vælge hvilken af værdierne for x som arcsin(0) skal give. Derfor er de omvendte funktioners værdimængder ægte delmængder af de oprindelige funktioners definitionsmængder.

Der er definitioner og værdimængder for arcus-funktionerne i den følgende tabel:

Funktion	Definition	Definitionsmængde	Værdimængde (radianer)	Værdimængde (grader)
y = $arcsin(x)$	x = $sin(y)$	−1 ≤ x ≤ 1	− $π$ /2 ≤ y ≤ $π$ /2	−90° ≤ y ≤ 90°
y = $arccos(x)$	x = $cos(y)$	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ $π$	0° ≤ y ≤ 180°
y = $arctan(x)$	x = $tan(y)$	alle reelle tal	− $π$ /2 < y < $π$ /2	−90° < y < 90°
y = $arccot(x)$	x = $cot(y)$	alle reelle tal	0 < y < $π$	0° < y < 180°
y = $arcsec(x)$	x = $sec(y)$	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < $π$ /2 eller $π$ /2 < y ≤ $π$	0° ≤ y < 90° eller 90° < y ≤ 180°
y = $arccsc(x)$	x = $csc(y)$	x ≤ −1 or 1 ≤ x	− $π$ /2 ≤ y < 0 eller 0 < y ≤ $π$ /2	−90° ≤ y < 0° eller 0° < y ≤ 90°

Relationer mellem trigonometriske funktioner og arcus-funktioner

Værdier for sinus, cosinus og tangens af arcus-funktioner kan ses i den følgende tabel sammen med diagrammer af retvinklede trekanter som kan illustrere hvordan man kan udlede disse resultater ved at anvende Pythagoras' læresætning og definitionerne af de trigonometriske funktioner.

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$

Relationer mellem arcus-funktionerne

Grafer for arcsin (rød) og arccos (blå).

Grafer for arctan (rød) og arccot (blå).

Grafer for arcsec (rød) og arccsc (blå).

Komplementære vinkler:

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}

Negative argumenter:

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}

Reciprokke argumenter:

{\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ hvis }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}

Referencer

^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 udgave). New York, USA: The Macmillan Company. s. 272.
^ Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8.
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 udgave). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. s. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

[Cajori-1] Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 udgave). New York, USA: The Macmillan Company. s. 272.

[Herschel_1813-2] Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8.

[Korn_2000-3] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 udgave). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. s. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

[1]

[2]

[3]

Navigation

navigation

Themenportale