Arcus-funktioner

Arcus-funktionerne er omvendte funktioner til de trigonometriske funktioner med restriktioner i deres definitionsmængder for at gøre dem injektive. Der findes arcus-funktioner til sinus, cosinus, tangens, samt deres reciprokke funktioner: cosekans, sekans og cotangens. Arcus-funktioner betegnes også circulære funktioner. De kan anvendes til at beregne en vinkel ud fra kendte forholdstal i en trekant og er hyppigt brugte i ingeniørvidenskab, navigation, astronomi, fysik og geometri.

Grafer

Nedenstående figurer viser grafer for seks arcus-funktioner.

Grafer for arcsin (rød) og arccos (blå).
Grafer for arctan (rød) og arccot (blå).
Grafer for arcsec (rød) og arccsc (blå).

Notation

Der er flere notationer i brug for arcus-funktioner.

Det mest almindelige er at anvende "arc-" som et præfiks: , , osv. Disse navne udtales "arcus-sinus til x", "arcus-cosinus til x", "arcus-tangens til x" osv. I 2009 har ISO, den Internationale Standard Organisation, med dokumentet ISO 80000-2[1] fastlagt præfikset "arc" som norm for de inverse trigonometriske funktioner.

Inden for datalogi (programmeringssprog, regneark, og tilsvarende) vil man ofte se forkortede betegnelser: og tilsvarende.

lommeregnere støder man ofte på skrivemåderne , , og tilsvarende. De blev indført af John Herschel i 1813[2][3] og bruges også lejlighedsvis. Denne notation er imidlertid i konflikt med potensskrivemåder som , som traditionelt bruges til betegne og ikke . Risikoen for forveksling er dog begrænset, og kan helt undgås ved at benytte de anbefalede navne [4]. Standardnavnene har endvidere den fordel, at de er nemme at taste.

Grundlæggende egenskaber

Da ingen af de seks trigonometriske funktioner er injektive (en-til-en), er det nødvendigt at indføre restriktioner for at kunne danne omvendte funktioner. For eksempel har ligningen uendelig mange løsninger: for alle heltal , så man er nødt til at vælge hvilken af værdierne for som skal give.

For at definere indskrænker man definitionsmængden for sinus fra hele (alle reelle tal) til det lukkede interval . Den begrænsede funktion er så monotont strengt voksende og har derfor en invers (omvendt) funktion, , givet ved

.

Af definitionen fremgår, at hvis ligger på grafen for sinus, så ligger på grafen for arcussinus. Desuden bliver de omvendte funktioners værdimængder lig med de oprindelige funktioners definitionsmængder og omvendt. Definitionsprocessen er illustreret på nedenstående tre figurer gældende for henholdsvis arcussinus, arcuscosinus og arcustangens.

Sinus og arcussinus. Den sorte kurve viser grafen for sinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra til . I dette interval er sin monotont voksende og har derfor en invers funktion, arcussinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen , der vises stiplet.
Cosinus og arcuscosinus. Den sorte kurve viser grafen for cosinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra til . I dette interval er cos monotont aftagende og har derfor en invers funktion, arcuscosinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen , der vises stiplet.
Tangens og arcustangens. De sorte kurver viser grafen for tangens. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det åbne interval fra til . I dette interval er monotont voksende og har derfor en invers funktion, . Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen , der vises stiplet.

Definitions- og værdimængder

Disse fremgår af nedenstående tabel. Her betegner mængden af reelle tal og er et logisk "eller".

Funktion og definitionDefinitionsmængdeVærdimængde (radianer)Værdimængde (grader)

Relationer mellem trigonometriske funktioner og arcus-funktioner

Værdier for sinus, cosinus og tangens af arcus-funktioner kan ses i den følgende tabel sammen med diagrammer af retvinklede trekanter, som kan illustrere hvordan man kan udlede disse resultater ved at anvende Pythagoras' sætning og definitionerne af de trigonometriske funktioner.

Diagram

Relationer mellem arcus-funktionerne

Funktionssammenhænge:

Fortegnsskift:

Reciprokke argumenter:

Eksempel på anvendelse

I en retvinklet trekan er sidelængderne 5, 12 og 13. Hvor stor er vinklen over for den mindste side?

Beregningerne kan udføres på en lommeregner.

Differentialkvotienter

Arcus-funktionerne har nedenstående differentialkvotienter, som er gyldige for både reelle og komplekse værdier af :

For reelle værdier af gælder desuden:

Formlerne kan udledes ved hjælp af differentialkvotienterne for de trigonometriske funktioner.

Eksempel for :

Lad og dermed . Så er

.

Heraf følger, at

Stamfunktioner

Nedenfor vises stamfunktioner for seks arcus-funktioner. Argumentet kan være reelt eller komplekst. Størrelsen er en arbitrær integrationskonstant.

For reelle gælder:

For reelle eller gælder:

Her betegner |•| størrelsens absolutte værdi og er fortegnsfunktionen signum. Med anvendelse af area-funktioner (inverse hyperbolske funktioner) kan de sidste to formler også skrives således:

Referencer

  1. ^ "ISO 80000-2:2019". International Organization for Standardization. Hentet 2024-09-11.
  2. ^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 udgave). New York, USA: The Macmillan Company. s. 272.
  3. ^ Herschel, John Frederick William (1813). "On a remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8.
  4. ^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions". Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review (3 udgave). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. s. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.

Medier brugt på denne side

ArctanGraph.jpg
Forfatter/Opretter: AstroOgier, Licens: CC0
Tangens og arcustangens. De sorte kurver viser grafen for tangens. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det åbne interval fra −π/2 til π/2. I dette interval er tan monotont voksende og har derfor en invers funktion, arcustangens. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
Trigonometric functions and inverse2.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
Trigonometric functions and inverse
Trigonometric functions and inverse.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
visual depiction for deriving trig functions of inverse functions, like sin(cos-1 x), tan(sin-1 x) etc.
ArcsinGraph.jpg
Forfatter/Opretter: AstroOgier, Licens: CC0
Sinus og arcussinus. Den sorte kurve viser grafen for sinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra −π/2 til π/2. I dette interval er sin monotont voksende og har derfor en invers funktion, arcussinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
Trigonometric functions and inverse3.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
Trigonometric functions and inverse
Trigonometric functions and inverse4.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
Trigonometric functions and inverse
Arcsecant Arccosecant.svg
Forfatter/Opretter: Geek3, Licens: CC BY-SA 3.0
Proportional graph with arcsecant and arccosecant curve. Accurate arcsec- and arccsc-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arcsecant is red, Arccosecant is blue.
Trigonometric functions and inverse6.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
Trigonometric functions and inverse
Arcsine Arccosine.svg
Forfatter/Opretter: Geek3, Licens: CC BY-SA 3.0
Proportional graph with arcsine and arccosine curve. Accurate arcsin- and arccos-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arcsine is red, Arccosine is blue.
ArccosGraph.jpg
Forfatter/Opretter: AstroOgier, Licens: CC0
Cosinus og arcuscosinus. Den sorte kurve viser grafen for cosinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra 0 til π. I dette interval er cos monotont aftagende og har derfor en invers funktion, arcuscosinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
Trigonometric functions and inverse5.svg
Forfatter/Opretter: Maschen, Licens: CC0
Trigonometric functions and inverse
Arctangent Arccotangent.svg
Forfatter/Opretter: Geek3, Licens: CC BY-SA 3.0
Proportional graph with arctangent and arccotangent curve. Accurate arctan- and arccot-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arctangent is red, Arccotangent is blue.