Nedenstående figurer viser grafer for seks arcus-funktioner.
Notation
Der er flere notationer i brug for arcus-funktioner.
Det mest almindelige er at anvende "arc-" som et præfiks: , , osv. Disse navne udtales "arcus-sinus til x", "arcus-cosinus til x", "arcus-tangens til x" osv. I 2009 har ISO, den Internationale Standard Organisation, med dokumentet ISO 80000-2[1] fastlagt præfikset "arc" som norm for de inverse trigonometriske funktioner.
På lommeregnere støder man ofte på skrivemåderne , , og tilsvarende. De blev indført af John Herschel i 1813[2][3] og bruges også lejlighedsvis. Denne notation er imidlertid i konflikt med potensskrivemåder som , som traditionelt bruges til betegne og ikke . Risikoen for forveksling er dog begrænset, og kan helt undgås ved at benytte de anbefalede navne [4]. Standardnavnene har endvidere den fordel, at de er nemme at taste.
Grundlæggende egenskaber
Da ingen af de seks trigonometriske funktioner er injektive (en-til-en), er det nødvendigt at indføre restriktioner for at kunne danne omvendte funktioner. For eksempel har ligningen uendelig mange løsninger: for alle heltal , så man er nødt til at vælge hvilken af værdierne for som skal give.
For at definere indskrænker man definitionsmængden for sinus fra hele (alle reelle tal) til det lukkede interval . Den begrænsede funktion er så monotont strengt voksende og har derfor en invers (omvendt) funktion, , givet ved
.
Af definitionen fremgår, at hvis ligger på grafen for sinus, så ligger på grafen for arcussinus. Desuden bliver de omvendte funktioners værdimængder lig med de oprindelige funktioners definitionsmængder og omvendt. Definitionsprocessen er illustreret på nedenstående tre figurer gældende for henholdsvis arcussinus, arcuscosinus og arcustangens.
Definitions- og værdimængder
Disse fremgår af nedenstående tabel. Her betegner mængden af reelle tal og er et logisk "eller".
Relationer mellem trigonometriske funktioner og arcus-funktioner
Værdier for sinus, cosinus og tangens af arcus-funktioner kan ses i den følgende tabel sammen med diagrammer af retvinklede trekanter, som kan illustrere hvordan man kan udlede disse resultater ved at anvende Pythagoras' sætning og definitionerne af de trigonometriske funktioner.
Diagram
Relationer mellem arcus-funktionerne
Funktionssammenhænge:
Fortegnsskift:
Reciprokke argumenter:
Eksempel på anvendelse
I en retvinklet trekan er sidelængderne 5, 12 og 13. Hvor stor er vinklen over for den mindste side?
Formlerne kan udledes ved hjælp af differentialkvotienterne for de trigonometriske funktioner.
Eksempel for :
Lad og dermed . Så er
.
Heraf følger, at
Stamfunktioner
Nedenfor vises stamfunktioner for seks arcus-funktioner. Argumentet kan være reelt eller komplekst. Størrelsen er en arbitrær integrationskonstant.
For reelle gælder:
For reelle eller gælder:
Her betegner |•| størrelsens absolutte værdi og er fortegnsfunktionen signum. Med anvendelse af area-funktioner (inverse hyperbolske funktioner) kan de sidste to formler også skrives således:
ArctanGraph.jpg Forfatter/Opretter:AstroOgier,
Licens:CC0 Tangens og arcustangens. De sorte kurver viser grafen for tangens. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det åbne interval fra −π/2 til π/2. I dette interval er tan monotont voksende og har derfor en invers funktion, arcustangens. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
ArcsinGraph.jpg Forfatter/Opretter:AstroOgier,
Licens:CC0 Sinus og arcussinus. Den sorte kurve viser grafen for sinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra −π/2 til π/2. I dette interval er sin monotont voksende og har derfor en invers funktion, arcussinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
Arcsecant Arccosecant.svg Forfatter/Opretter:Geek3,
Licens:CC BY-SA 3.0 Proportional graph with arcsecant and arccosecant curve. Accurate arcsec- and arccsc-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arcsecant is red, Arccosecant is blue.
Arcsine Arccosine.svg Forfatter/Opretter:Geek3,
Licens:CC BY-SA 3.0 Proportional graph with arcsine and arccosine curve. Accurate arcsin- and arccos-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arcsine is red, Arccosine is blue.
ArccosGraph.jpg Forfatter/Opretter:AstroOgier,
Licens:CC0 Cosinus og arcuscosinus. Den sorte kurve viser grafen for cosinus. Den blå kurve markerer begrænsningen af definitionsmængden til det lukkede interval fra 0 til π. I dette interval er cos monotont aftagende og har derfor en invers funktion, arcuscosinus. Dens graf er vist med rød streg. Den fremkommer ved spejling omkring linjen med ligningen y = x, der vises stiplet.
Arctangent Arccotangent.svg Forfatter/Opretter:Geek3,
Licens:CC BY-SA 3.0 Proportional graph with arctangent and arccotangent curve. Accurate arctan- and arccot-plot with cubic bezier-curves. Labels are created with embedded "Computer Modern" font. Arctangent is red, Arccotangent is blue.