Andengradsligning

Ved en andengradsligning^[1][2][3] forstås en ligning på formen

${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {R} ,\quad a\neq 0}$

Størrelserne ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ kaldes andengradsligningen koefficienter og ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ er den ubekendte, hvis værdi skal bestemmes med ligningen. Det første led, ${\displaystyle a\cdot x^{2}}$ kaldes andengradsleddet, ${\displaystyle b\cdot x}$ er førstegradsleddet og ${\displaystyle c}$ er konstantleddet (eller nultegradsleddet). Koefficeienten ${\displaystyle a}$ må kræves at være forskellig fra nul, da ligningen ellers ikke er af anden grad; der er ingen begrænsninger på ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$. Løsningerne til andengradsligningen kaldes dens rødder; en andengradsligning kan have 0, 1 eller 2 rødder.

Såfremt man arbejder inden for de reele tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$, betegnes den ubekendte normalt ${\displaystyle x}$, men anden navngivning kan forekomme. Hvis ligningen ønskes løst inden for de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$, betegnes den ubekendte normalt ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle a\cdot z^{2}+b\cdot z+c=0\quad a,b,c\in \mathbb {C} ,\quad a\neq 0}$

Komplekse andengradsligninger behandles i artiklen om komplekse tal.

Eksempler

Ligning		Kommentar
${\displaystyle 2.5\cdot x^{2}+23\cdot x+53=0}$		${\displaystyle a=2.5,\,b=23,\,c=53}$
${\displaystyle 9\cdot x^{2}-66\cdot x+121=0}$		${\displaystyle a=9,\,b=-66,\,c=121}$
${\displaystyle 7\cdot x^{2}-33\cdot x-10=0}$		${\displaystyle a=7,\,b=-33,\,c=-10}$
${\displaystyle 7\cdot q^{2}-33\cdot q-10=0}$		Samme ligning, blot med ${\displaystyle q}$ som ubekendt
${\displaystyle 5-x=x^{2}}$		${\displaystyle a=1,\,b=1,\,c=-5}$ eller ${\displaystyle a=-1,\,b=-1,\,c=5}$
${\displaystyle x^{4}+3\cdot x^{2}-28=0}$		"Iklædt" andengradsligning med ${\displaystyle x^{2}}$ som ukendt: ${\displaystyle x^{4}=(x^{2})^{2}}$
${\displaystyle 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot x^{2}+({\sqrt {3}}-6)\cdot x-3=0}$		${\displaystyle a=2\cdot {\sqrt {3}},\,b={\sqrt {3}}-6,\,c=-3}$

Løsning af en andengradsligning

Idéen i løsninger er at supplere anden- og førstegradsleddene med yderligere et led, således at de tre led kan omskrives ved hjælp af første kvadratsætning, som her skrives på formen

${\displaystyle {\color {Green}p}^{2}+2\cdot {\color {Green}p}\cdot {\color {Red}q}+{\color {Red}q}^{2}=({\color {NavyBlue}p+q})^{2}}$

Vi skal nu prøve at identificere ${\displaystyle p^{2}}$ med andengradsleddet ${\displaystyle a\cdot x^{2}}$ og ${\displaystyle 2\cdot p\cdot q}$ med førstegradsleddet ${\displaystyle b\cdot x}$. Imidlertid er ${\displaystyle a\cdot x^{2}}$ ikke et kvadrat. Men det kan opnås ved at multiplicere ligningen med en snedigt valgt faktor, som dels gør leddet kvadratisk og dels udskyder en trælsom division til allersidst:

		${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0}$		Den givne ligning
${\displaystyle \Updownarrow }$
		${\displaystyle 4\cdot a\cdot a\cdot x^{2}+4\cdot a\cdot b\cdot x+4\cdot a\cdot c=0}$		Multiplikation med ${\displaystyle 4\cdot a}$; lovligt, da ${\displaystyle a\neq 0}$
${\displaystyle \Updownarrow }$
		${\displaystyle ({\color {Green}2\cdot a\cdot x})^{2}+2\cdot ({\color {Green}2\cdot a\cdot x})\cdot {\color {Red}b}+{\color {Red}b}^{2}-b^{2}+4\cdot a\cdot c=0}$		Faktorisering og addition af ${\displaystyle b^{2}-b^{2}}$
${\displaystyle \Updownarrow }$
		${\displaystyle ({\color {NavyBlue}2\cdot a\cdot x+b})^{2}-b^{2}+4\cdot a\cdot c=0}$		Anvendelse af første kvadratsætning.
${\displaystyle \Updownarrow }$
		${\displaystyle (2\cdot a\cdot x+b)^{2}=b^{2}-4\cdot a\cdot c}$		Konstantled flyttes til højre side
${\displaystyle \Updownarrow }$
		${\displaystyle (2\cdot a\cdot x+b)^{2}=d}$		Kombinationen af koefficienterne betegnes ${\displaystyle d}$

Vi har her indført andengradsligningens diskriminant givet ved

${\displaystyle d\equiv b^{2}-4\cdot a\cdot c}$.

Diskriminantens fortegn bruges til at skelne (diskriminere) mellem antallet af løsninger til ligningen, hvilket udredes i det følgende. Vi arbejder videre med den fundne ligning,

${\displaystyle (2\cdot a\cdot x+b)^{2}=d}$

Eksempler på løsninger

I alle tilfælde starter man med at beregne diskriminanten ${\displaystyle d}$.

Ligning	Løsning
${\displaystyle 2.5\cdot x^{2}+23\cdot x+53=0}$	${\displaystyle d=23^{2}-4\cdot 2.5\cdot 53=-1.}$ Ingen løsninger
${\displaystyle 9\cdot x^{2}-66\cdot x+121=0}$	${\displaystyle d=66^{2}-4\cdot 9\cdot 121=0.}$ Én løsning: ${\displaystyle x={\tfrac {66}{2\cdot 9}}={\tfrac {11}{3}}}$
${\displaystyle 7\cdot x^{2}-33\cdot x-10=0}$	${\displaystyle d=(-33)^{2}-4\cdot 7\cdot (-10)=1369=37^{2}.}$ To løsninger: ${\displaystyle (x={\tfrac {33-37}{14}})\lor (x={\tfrac {33+37}{14}})\quad \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle (x=-{\tfrac {2}{7}})\lor (x=5)}$
${\displaystyle x^{2}+x-5=0}$	${\displaystyle d=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-5)=21.}$ To løsninger: ${\displaystyle (x={\tfrac {-1-{\sqrt {21}}}{2}}\approx -2.791\,288)\lor }$ ${\displaystyle (x={\tfrac {-1+{\sqrt {21}}}{2}}\approx 1.791\,288)}$
${\displaystyle x^{4}+3\cdot x^{2}-28=0}$	${\displaystyle d=3^{2}-4\cdot 1\cdot (-28)=121=11^{2}.}$ ${\displaystyle (x^{2}={\tfrac {-3-11}{2}}=-7)\lor (x^{2}={\tfrac {-3+11}{2}}=4)\quad \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle x^{2}=4\quad \Leftrightarrow \quad (x=-2)\lor (x=2)}$
${\displaystyle 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot x^{2}+({\sqrt {3}}-6)\cdot x-3=0}$	${\displaystyle d=({\sqrt {3}}-6)^{2}-4\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot (-3)}$ ${\displaystyle =3+36-12\cdot {\sqrt {3}}+24\cdot {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle =39+12\cdot {\sqrt {3}}=(6+{\sqrt {3}})^{2}}$ ${\displaystyle \left(x={\frac {-{\sqrt {3}}+6-6-{\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {-2\cdot {\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}\right)\lor }$ ${\displaystyle \left(x={\frac {-{\sqrt {3}}+6+6+{\sqrt {3}}}{4\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {12}{4\cdot {\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}\right)}$ ${\displaystyle (x=-{\tfrac {1}{2}})\lor (x={\sqrt {3}})}$

Normeret andengradsligning

Da ${\displaystyle a\neq 0}$, kan enhver andengradsligning divideres igennem med ${\displaystyle a}$, hvorved den får formen

${\displaystyle x^{2}+s\cdot x+t=0\quad s,t\in \mathbb {R} }$

Ligningen siges nu at være normeret^[4]. En normeret andengradsligning med to rødder ${\displaystyle p}$ og ${\displaystyle q}$ kan ifølge nul-reglen skrives på formen^[5]

${\displaystyle (x-p)\cdot (x-q)=0}$

eller

${\displaystyle x^{2}-(p+q)\cdot x+p\cdot q=0}$

Ved sammenligning af de to udtryk ser vi at

${\displaystyle p+q=-s}$		Røddernes sum er koefficienten til førstegradsleddet med modsat fortegn
${\displaystyle p\cdot q=t}$		Røddernes produkt er lig konstantleddet.

Har man en formodning om, at en forelagt ligning har to simple rødder, kan man undertiden bruge disse regler til ved hovedregning at finde rødderne; man siger uformelt, at man kaster et skarpt blik på ligningen.

Eksempel:

I ligningen ${\displaystyle x^{2}+9\cdot x+14=0}$ er konstantleddet lig ${\displaystyle 14}$, der kan være produktet af ${\displaystyle 1}$ og ${\displaystyle 14}$, ${\displaystyle 2}$ og ${\displaystyle 7}$ samt ${\displaystyle -1}$ og ${\displaystyle -14}$ og ${\displaystyle -2}$ og ${\displaystyle -7}$. Da summen skal være ${\displaystyle -9}$, må rødderne være ${\displaystyle -2}$ og ${\displaystyle -7}$.

Numerisk beregning af rødder

Med ovenstående formler er andengradsligningen ${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0}$ løst matematisk. Men ved praktisk beregning kan der opstå et problem med ciffertab ved subtraktion af to næsten lige store størrelser, fordi beregningen sker med et endeligt antal betydende cifre; for eksempel yder regnearket Excel 14 - 15 betydende cifre (side på engelsk).

I løsningsformlen for en andengradsligning indgår de to størrelser ${\displaystyle -b-{\sqrt {d}}}$ og ${\displaystyle -b+{\sqrt {d}}}$. Hvis

${\displaystyle -b=0.123\,456\,789\,012\,34}$

${\displaystyle {\sqrt {d}}=0.123\,456\,789\,012\,33}$

så bliver differensen

${\displaystyle -b-{\sqrt {d}}=0.000\,000\,000\,000\,01}$

med et katastrofalt tab i antallet af betydende cifre.

Dette problem kan man imidlertid undgå ved at udnytte, at røddernes produkt (jfr. forrige afsnit) er ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=c/a}$. Algoritmen bliver derfor følgende:

• Beregn diskriminanten ${\displaystyle d}$, der her antages positiv.

• Hvis ${\displaystyle b\geqq 0}$, så er både ${\displaystyle -b}$ og ${\displaystyle -{\sqrt {d}}}$ negative: Sæt ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}}$ og ${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{a\cdot x_{1}}}}$.

• Hvis ${\displaystyle b<0}$, så er både ${\displaystyle -b}$ og ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ positive: Sæt ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2\cdot a}}}$ og ${\displaystyle x_{1}={\frac {c}{a\cdot x_{2}}}}$.

Eksempel:

Andengradsligningen

${\displaystyle x^{2}-(10^{n}+10^{-n})\cdot x+1=0\quad n\in \mathbb {N} }$

er konstrueret til at have de eksakte rødder ${\displaystyle 10^{n}}$ og ${\displaystyle 10^{-n}}$. Dens diskriminant er

${\displaystyle d=10^{2\cdot n}-2+10^{-2\cdot n}}$.

Vælges ${\displaystyle n=3}$, fås ligningen ${\displaystyle x^{2}-1000.001\cdot x+1=0}$ og diskriminanten ${\displaystyle d=999\,998.000\,001}$.

Tabellen herunder viser, hvike resultater man når frem til med de "matematiske" formler for ${\displaystyle x_{1}}$ og ${\displaystyle x_{2}}$ og den "numeriske" formel for ${\displaystyle x_{1}}$, såfremt alle beregninger udføres med 6 betydende cifre.

${\displaystyle \,n\,}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b^{2}}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\sqrt {d}}}$	${\displaystyle -b-{\sqrt {d}}}$	${\displaystyle -b+{\sqrt {d}}}$	${\displaystyle x_{1}}$ Klassisk	${\displaystyle x_{2}}$ Klassisk	${\displaystyle x_{1}}$ Fra ${\displaystyle x_{2}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -10.1}$	${\displaystyle 102.010}$	${\displaystyle 98.01}$	${\displaystyle 9.9}$	${\displaystyle 0.200000}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 0.1}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 0.1}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -100.01}$	${\displaystyle 10002}$	${\displaystyle 9998.00}$	${\displaystyle 99.99}$	${\displaystyle 0.02001}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 0.01}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle 0.01}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1000}$	${\displaystyle 1000000}$	${\displaystyle 999996}$	${\displaystyle 999.998}$	${\displaystyle 0.00200000}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle 0.001}$	${\displaystyle 1000}$	${\displaystyle 0.001}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -10^{4}}$	${\displaystyle 10^{8}}$	${\displaystyle 10^{8}}$	${\displaystyle 10^{4}}$	${\displaystyle {\color {BurntOrange}0}}$	${\displaystyle 20000}$	${\displaystyle {\color {BurntOrange}0}}$	${\displaystyle 10000}$	${\displaystyle {\color {Green}0.0001}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -10^{5}}$	${\displaystyle 10^{10}}$	${\displaystyle 10^{10}}$	${\displaystyle 10^{5}}$	${\displaystyle {\color {BurntOrange}0}}$	${\displaystyle 200000}$	${\displaystyle {\color {BurntOrange}0}}$	${\displaystyle 100000}$	${\displaystyle {\color {Green}0.00001}}$

Som det ses, svigter den klassiske metode i de to sidste situationer, medens den modificerede fremgangsmåde leverer korrekte rødder.

Andengradsulighed

En andengradsulighed ^[6] er et åbent udsagn af typen

${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c<0}$

${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\leqq 0}$

${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c>0}$

${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\geqq 0}$

hvor ${\displaystyle a,\,b,\,c\in \mathbb {R} ,\quad a\neq 0}$.

Løsningsmængden ${\displaystyle L}$, dvs. samlingen ef ${\displaystyle x}$-værdier, som gør det åbne udsagn sandt, findes ved først at løse den tilhørende andengradsligning ${\displaystyle a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0}$ og derefter foretage en fortegnsundersøgelse for det tilhørende andengradspolynomium ${\displaystyle P(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$.

Eksempler på andengradsuligheder

Eksempel 1

${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5<0}$

Den tilhørende andengradsligning ${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5=0}$ ses ved anvendelse af løsningsmetoden ovenfor (eller ved at kaste et skarpt blik på den) at have rødderne ${\displaystyle -5}$ og ${\displaystyle -1}$. Sættes ${\displaystyle x=0}$, fås resultatet ${\displaystyle +5}$, der ikke er mindre end nul.

Polynomiets fortegnsvariation må da være som vist på fortegnsaksen herover. Løsningsmængden ${\displaystyle L}$ kan nu aflæses:

${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5<0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-5;\,-1[}$

Eksempel 2:

${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5\leqq 0\quad \Rightarrow \quad L=\,[-5;\,-1]}$

Eksempel 3:

${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5>0\quad \Rightarrow \quad L\,=]-\infty ;-5[\;\cup \;]-1;\,+\infty [}$

Eksempel 4:

${\displaystyle x^{2}+6\cdot x+5\geqq {\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}+{\tfrac {47}{4}}}$

Uligheden omskrives til standardform:

${\displaystyle 4\cdot x^{2}+24\cdot x+20\geqq x^{2}+47\quad \Rightarrow \quad 3\cdot x^{2}+24\cdot x-27\geqq 0\quad \Rightarrow \quad \quad x^{2}+8\cdot x-9\geqq 0}$

Andengradsligningen ${\displaystyle x^{2}+8\cdot x-9=0}$ har rødderne ${\displaystyle -9}$ og ${\displaystyle 1}$, og da udtrykkets værdi for ${\displaystyle x=0}$ er negativt, ligger løsningsmængden uden for rodintervallet:

${\displaystyle L\,=]-\infty ;-9[\;\cup \;]1;\,+\infty [}$.

Løsningerne kan illustreres ved at tegne graferne for de to involverede andengradspolynomier,

${\displaystyle P(x)=x^{2}+6\cdot x+5\quad }$ og${\displaystyle \quad Q(x)={\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}+{\tfrac {47}{4}}}$

Uligheden fra eksempel 1 svarer da til at spørge om, for hvilke ${\displaystyle x}$-værdier grafen for ${\displaystyle P}$ ligger under førsteaksen, medens dobbeltuligheden svar til at spørge om, for hvilke ${\displaystyle x}$-værdier grafen for ${\displaystyle P}$ ligger over eller på grafen for ${\displaystyle Q}$.

Kilder