Alternerende gruppe

Gruppeteori

Gruppeteori Grundlæggende begreber Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe Gruppehomomorfi (semi-)direkte produkt Endelige grupper og klassifikation af endelige simple grupper Cyklisk gruppe Zn Symmetrisk gruppe, Sn Diedergruppe, Dn Alternerende gruppe An Mathieugrupper M11, M12, M22, M23, M24 Conwaygrupper Co1, Co2, Co3 Jankogrupper J1, J2, J3, J4 Fischergrupper F22, F23, F24 Babymonstergruppen B Monstergruppen M Diskrete grupper og gitre Heltallene, Z Gitter (gruppe) Modulære grupper, PSL(2,Z) og SL(2,Z) Topologiske grupper og Liegrupper Solenoide (matematik) Cirkelgruppen Den generelle lineære gruppe GL(n) Den specielle lineære gruppe SL(n) Den ortogonale gruppe O(n) Den specielle ortogonale gruppe SO(n) Den unitære gruppe U(n) Den specielle unitære gruppe SU(n) Den symplektiske gruppe Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentzgruppen Poincarégruppen Konform gruppe Diffeomorfigruppe Løkkegruppen

I matematikken er en alternerende gruppe en gruppe af lige permutationer på en endelig mængde. Den alternerende gruppe på mængden {1,...,n} kaldes den alternerende gruppe af grad n og benævnes A_n eller Alt(n).

For eksempel er den alternerende gruppe af grad 4 A₄ = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Grundlæggende egenskaber

For n > 1 er gruppen A_n en normal undergruppe af den symmetriske gruppe S_n med indeks 2 og den har derfor n!/2 elementer. Den er kernen af gruppehomomorfien sgn : S_n → {1, -1}, som det forklares i artiklen om den symmetriske gruppe.

Gruppen A_n er abelsk hvis og kun hvis n ≤ 3 og simpel hvis og kun hvis n = 3 eller n ≥ 5. A₅ er med 60 elementer den mindste ikke-abelske simple gruppe og den mindste ikke-opløselige gruppe.

Konjugeretklasser

Som i den symmetriske gruppe består konjugeretklasserne i A_n af elementer med samme cykeltype. Hvis cykeltypen består af cykler af ulige længde og ikke to cykler har samme længde, er der præcis to konjugensklasser for cykeltypen.

Eksempler:

• permutationerne (1 2 3) og (1 3 2) er ikke konjugerede i A₃, selvom de har samme cykeltype og dermed er konjugerede i S₃.
• permutationen (1 2 3)(4 5 6 7 8) er ikke konjugeret med sin inverse (1 3 2)(4 8 7 6 5) i A₈, selvom de to permutation har samme cykeltype og dermed altså er konjugerede i S₈

Automorfigruppen

For alle n > 3 med undtagelse af n = 6 er automorfigruppen af A_n den symmetriske gruppe S_n med indre automorfigruppe A_n og ydre automorfigruppe Z₂.

For n = 1 og n = 2 er automorfigruppen triviel. For n = 3 er automorfigruppen Z₂ med triviel indre automorfigruppe og ydre automorfigruppe Z₂.

Den ydre automorfigruppe af A₆ er Z₂. Den ekstra ydre automorfigruppe i A₆ ombytter 3-cyklerne (såsom (1 2 3)) med elementer med elementer med cykeltype 3² (såsom (1 2 3)(4 5 6)).

Exceptionelle isomorfier

Der findes isomorfier mellem nogle af de mindre alternerende grupper og mindre grupper af Lie-type. Her følger nogle:

• A₄ er isomorf med symmetrigruppen for tetraederet (orienteringsbevarende symmetrier).
• A₅ er isomorf med PSL₂(4), PSL<sub<2(5), og med symmetrigruppen for ikosaederet (orienteringsbevarende symmetrier).
• A₆ er isomorf med PSL₂(9) og PSp₄(2)'.
• A₈ er isomorf med PSL₄(2).

Hvad, der er mere trivielt, er, at A₃ er isomorf på den cykliske gruppe Z₃, og at A₁ og A₂ er isomorfe på den trivielle gruppe.

Undergupper

A₄ er den mindste gruppe, der demonstrerer at det modsatte af Lagranges sætning ikke gælder generelt: Givet en gruppe, G, og et naturligt tal, d, der går op i |G|, gælder der ikke nødvendigvis at der findes en undergruppe af G med orden d: Gruppen G = A₄ har ingen undergruppe af orden 6. En undergruppe med tre elementer (genereret ved cyklisk rotation af tre objekter) med yderligere et element (pånær e) genererer hele gruppen.