Abels sætning

I reel analyse relaterer Abels sætning for potensrækker en potensrækkes grænseværdi med summen af dens koefficienter. Sætningen er opkaldt efter den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Sætning

Lad a = {a_i: i ≥ 0} være en følge af reelle eller komplekse tal og lad

${\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\,}$

være potensrækken med koefficienter a. Antag at rækken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ konvergerer. Da gælder, at

${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\,\ \ (*)}$

I det specielle tilfælde, hvor alle koefficienter a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i gælder ovenstående formel ${\displaystyle (*)}$ også, når rækken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ikke konvergerer. Det vil sige, at begge sider er lig ${\displaystyle +\infty .}$

Bemærkning

I en mere generel version af denne sætning gælder, at hvis r er et reelt tal forskelligt fra nul, for hvilket rækken ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}}$ konvergerer, er

${\displaystyle \lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i},\,\ \ }$

forudsat at grænseværdien forstås som grænseværdien fra venstre, hvis r er positiv og fra højre, hvis r er negativ.

Eksempler

Lad ${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).}$ Da ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ konvergerer (af konvergenskriteriet for alternerende rækker,) fås at

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

Lad ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).}$ Igen fås af konvergenskriteriet for alternerende rækker, at ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ konvergerer, og at

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Anvendelse

Abels sætning giver mulighed for at finde grænseværdien af en potensrække, når dens argument (dvs. z) nærmer sig 1 fra venstre, selv i tilfælde, hvor rækkens konvergensradius, R, er lig 1, hvor det så under normale omstændigheder ikke er muligt at bestemme, hvorvidt grænsen er endelig eller ej.

G_a(z) kaldes den genererende funktion for en følge a. Abels sætning er ofte anvendelig i behandlingen af genererende funktioner for reelle og ikke-negative følger, såsom sandsynlighedsgenererende funktioner. Specielt er den brugbar i teorien for Galton-Watson-processer.