4-vektor

En 4-vektor er inden for den specielle relativitetsteori en vektorstørrelse, hvis skalarprodukt er invariant under Lorentz-transformationer.

En 4-vektor ${\displaystyle \mathbf {A} }$ har 4 komposanter:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}}$

hvor den nulte komposant kaldes for tidslig, mens de tre andre kaldes for rumlige. Skalarproduktet mellem to 4-vektorer ${\displaystyle \mathbf {A} }$ og ${\displaystyle \mathbf {B} }$ er defineret som produktet af de tidslige komposanter minus produktet af de rumlige:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}}$

Dette skalarprodukt vil være det samme i et hvilket som helt inertialsystem.

Eksempel

Et eksempel på en 4-vektor er en forskydning ${\displaystyle \Delta \mathbf {s} }$ i rumtiden, hvor den tidslige komposant altså er forskydningen i tiden ${\displaystyle t}$, mens de andre er de rumlige forskydninger ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \Delta \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}c\Delta t\\\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\end{pmatrix}}}$

Tidsforskydningen er her ganget med lysets fart ${\displaystyle c}$, så alle komposanter har enheder af længde. Skalarproduktet med sig selv er da:

${\displaystyle \Delta \mathbf {s} \cdot \Delta \mathbf {s} =c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}}$

Det ses, at det første led blot er den kvadrerede tid mellem to begivenheder, mens de andre led er den kvadredrede rumlige afstand. I klassisk mekanik jf. Galilei-transformationerne er afstand i tid og rum begge invariante, men dette er ikke tilfældet i den specielle relativitetsteori jf. Lorentz-tranformationerne, da der sker tidsforlængelse og længdeforkortelse.^[1]

Kildehenvisninger